Giải tích Ví dụ

$\int \frac{x^{2}}{{(16 - x^{3})}^{2}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 16 - x^{3}$ . Sau đó $d u = - 3 x^{2} d x$ , nên $- \frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 16 - x^{3}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $16 - x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [16 - x^{3}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $16 - x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 1.1.2.2

Vì $16$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $16$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{3}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$0 - (3 x^{2})$

Bước 1.1.3.3

Nhân $3$ với $- 1$ .

$0 - 3 x^{2}$

Bước 1.1.4

Trừ $3 x^{2}$ khỏi $0$ .

$- 3 x^{2}$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{- 3} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int \frac{1}{u^{2}} (- \frac{1}{3}) d u$

Bước 2.2

Nhân $\frac{1}{u^{2}}$ với $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{1}{u^{2} \cdot 3} d u$

Bước 2.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $u^{2}$ .

$\int - \frac{1}{3 u^{2}} d u$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \frac{1}{3 u^{2}} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Bước 5

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển $u^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Bước 5.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Bước 5.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{- 2} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 2}$ đối với $u$ là $- u^{- 1}$ .

$- \frac{1}{3} (- u^{- 1} + C)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại $- \frac{1}{3} (- u^{- 1} + C)$ ở dạng $- \frac{1}{3} (- \frac{1}{u}) + C$ .

$- \frac{1}{3} (- \frac{1}{u}) + C$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 (\frac{1}{3}) \frac{1}{u} + C$

Bước 7.2.2

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u} + C$

Bước 7.2.3

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{3 u} + C$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $16 - x^{3}$ .

$\frac{1}{3 (16 - x^{3})} + C$