Giải tích Ví dụ

$\int \frac{\arctan (3 x)}{1 + 9 x^{2}} d x$

Bước 1

Giả sử $u_{1} = 3 x$ . Sau đó $d u_{1} = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{1} = 3 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 1.1.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Bước 1.1.4

Nhân $3$ với $1$ .

$3$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân $\frac{\arctan (u_{1})}{1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2}}$ với $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\arctan (u_{1})}{(1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2}) \cdot 3} d u_{1}$

Bước 2.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2}$ .

$\int \frac{\arctan (u_{1})}{3 (1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2})} d u_{1}$

Bước 3

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2}} d u_{1}$

Bước 4

Giả sử $u_{2} = \arctan (u_{1})$ . Sau đó $d u_{2} = \frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} d u_{1}$ , nên $- d u_{2} = \frac{- 1}{{u_{1}}^{2} + 1} d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u_{2} = \arctan (u_{1})$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $\arctan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})]$

Bước 4.1.2

Đạo hàm của $\arctan (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$

Bước 4.1.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{{u_{1}}^{2} + 1}$

Bước 4.1.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \int u_{2} d u_{2}$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u_{2}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ ở dạng $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

Bước 6.2.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{1}{6} {u_{2}}^{2} + C$

Bước 7

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\arctan (u_{1})$ .

$\frac{1}{6} {\arctan (u_{1})}^{2} + C$

Bước 7.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $3 x$ .

$\frac{1}{6} {\arctan (3 x)}^{2} + C$