Giải tích Ví dụ

$\int \frac{\sqrt{4 x^{2} - 9}}{x} d x$

Bước 1

Giả sử $x = \frac{3}{2} \sec (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2}$ dương.

$\int \frac{\sqrt{4 {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $\sqrt{4 {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 9}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $\sec (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{4 {(\frac{3 \sec (t)}{2})}^{2} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{3 \sec (t)}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{4 \frac{{(3 \sec (t))}^{2}}{2^{2}} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{4 \frac{3^{2} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \frac{\sqrt{4 \frac{9 \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \frac{\sqrt{4 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{\sqrt{4 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.5.2

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{\sqrt{9 \sec^{2} (t) - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 2.1.2

Đưa $9$ ra ngoài $9 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (\sec^{2} (t)) - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 2.1.3

Đưa $9$ ra ngoài $- 9$ .

$\int \frac{\sqrt{9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 2.1.4

Đưa $9$ ra ngoài $9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (\sec^{2} (t) - 1)}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 2.1.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \frac{\sqrt{9 \tan^{2} (t)}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 2.1.6

Viết lại $9 \tan^{2} (t)$ ở dạng ${(3 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{{(3 \tan (t))}^{2}}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 2.1.7

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int \frac{3 \tan (t)}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $\sec (t)$ .

$\int \frac{3 \tan (t)}{\frac{3 \sec (t)}{2}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 2.2.2

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{3 \sec (t)}{2}$ .

$\int 3 \tan (t) \frac{2}{3 \sec (t)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 2.2.3

Kết hợp $\frac{2}{3 \sec (t)}$ và $3$ .

$\int \frac{2 \cdot 3}{3 \sec (t)} \tan (t) \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 2.2.4

Nhân $2$ với $3$ .

$\int \frac{6}{3 \sec (t)} \tan (t) \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 2.2.5

Kết hợp $\frac{6}{3 \sec (t)}$ và $\tan (t)$ .

$\int \frac{6 \tan (t)}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 2.2.6

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1

Đưa $3$ ra ngoài $6 \tan (t)$ .

$\int \frac{3 (2 \tan (t))}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 2.2.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{3 (2 \tan (t))}{3 (\sec (t))} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 2.2.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{3 (2 \tan (t))}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 2.2.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{2 \tan (t)}{\sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 2.2.7

Nhân $\frac{2 \tan (t)}{\sec (t)}$ với $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2}$ .

$\int \frac{2 \tan (t) (3 \sec (t) \tan (t))}{\sec (t) \cdot 2} d t$

Bước 2.2.8

Nhân $3$ với $2$ .

$\int \frac{6 \tan (t) (\sec (t) \tan (t))}{\sec (t) \cdot 2} d t$

Bước 2.2.9

Nâng $\tan (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{6 (\tan^{1} (t) \tan (t)) \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

Bước 2.2.10

Nâng $\tan (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{6 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

Bước 2.2.11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \frac{6 {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

Bước 2.2.12

Cộng $1$ và $1$ .

$\int \frac{6 \tan^{2} (t) \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

Bước 2.2.13

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sec (t)$ .

$\int \frac{6 \tan^{2} (t) \sec (t)}{2 \cdot \sec (t)} d t$

Bước 2.2.14

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.14.1

Đưa $2$ ra ngoài $6 \tan^{2} (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{2 (3 \tan^{2} (t) \sec (t))}{2 \sec (t)} d t$

Bước 2.2.14.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.14.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \sec (t)$ .

$\int \frac{2 (3 \tan^{2} (t) \sec (t))}{2 (\sec (t))} d t$

Bước 2.2.14.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{2 (3 \tan^{2} (t) \sec (t))}{2 \sec (t)} d t$

Bước 2.2.14.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{3 \tan^{2} (t) \sec (t)}{\sec (t)} d t$

Bước 2.2.15

Triệt tiêu thừa số chung $\sec (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.15.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{3 \tan^{2} (t) \sec (t)}{\sec (t)} d t$

Bước 2.2.15.2

Chia $3 \tan^{2} (t)$ cho $1$ .

$\int 3 \tan^{2} (t) d t$

Bước 3

Vì $3$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int \tan^{2} (t) d t$

Bước 4

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\tan^{2} (t)$ ở dạng $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$3 \int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$3 (\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

Bước 6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$3 (- t + C + \int \sec^{2} (t) d t)$

Bước 7

Vì đạo hàm của $\tan (t)$ là $\sec^{2} (t)$ , tích phân của $\sec^{2} (t)$ là $\tan (t)$ .

$3 (- t + C + \tan (t) + C)$

Bước 8

Rút gọn.

$3 (- t + \tan (t)) + C$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $arcsec (\frac{2 x}{3})$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \tan (arcsec (\frac{2 x}{3}))) + C$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Vẽ một hình tam giác trong mặt phẳng với các đỉnh $(1, \sqrt{{(\frac{2 x}{3})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ , và gốc tọa độ. Khi đó $arcsec (\frac{2 x}{3})$ là góc giữa trục x dương và tia bắt đầu tại điểm gốc tọa độ và đi qua $(1, \sqrt{{(\frac{2 x}{3})}^{2} - 1^{2}})$ . Do đó, $\tan (arcsec (\frac{2 x}{3}))$ là $\sqrt{{(\frac{2 x}{3})}^{2} - 1}$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{{(\frac{2 x}{3})}^{2} - 1}) + C$

Bước 10.1.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{{(\frac{2 x}{3})}^{2} - 1^{2}}) + C$

Bước 10.1.3

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = \frac{2 x}{3}$ và $b = 1$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{(\frac{2 x}{3} + 1) (\frac{2 x}{3} - 1)}) + C$

Bước 10.1.4

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{(\frac{2 x}{3} + \frac{3}{3}) (\frac{2 x}{3} - 1)}) + C$

Bước 10.1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{2 x + 3}{3} (\frac{2 x}{3} - 1)}) + C$

Bước 10.1.6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{2 x + 3}{3} (\frac{2 x}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}) + C$

Bước 10.1.7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{2 x + 3}{3} (\frac{2 x}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}) + C$

Bước 10.1.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{2 x + 3}{3} \cdot \frac{2 x - 1 \cdot 3}{3}}) + C$

Bước 10.1.9

Nhân $- 1$ với $3$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{2 x + 3}{3} \cdot \frac{2 x - 3}{3}}) + C$

Bước 10.1.10

Nhân $\frac{2 x + 3}{3}$ với $\frac{2 x - 3}{3}$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{3 \cdot 3}}) + C$

Bước 10.1.11

Nhân $3$ với $3$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{9}}) + C$

Bước 10.1.12

Viết lại $\frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{9}$ ở dạng ${(\frac{1}{3})}^{2} ((2 x + 3) (2 x - 3))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.12.1

Đưa lũy thừa hoàn hảo $1^{2}$ ra ngoài $(2 x + 3) (2 x - 3)$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((2 x + 3) (2 x - 3))}{9}}) + C$

Bước 10.1.12.2

Đưa lũy thừa hoàn hảo $3^{2}$ ra ngoài $9$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((2 x + 3) (2 x - 3))}{3^{2} \cdot 1}}) + C$

Bước 10.1.12.3

Sắp xếp lại phân số $\frac{1^{2} ((2 x + 3) (2 x - 3))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((2 x + 3) (2 x - 3))}) + C$

Bước 10.1.13

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \frac{1}{3} \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}) + C$

Bước 10.1.14

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $\sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \frac{\sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}}{3}) + C$

Bước 10.2

Để viết $- arcsec (\frac{2 x}{3})$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}}{3}) + C$

Bước 10.3

Kết hợp $- arcsec (\frac{2 x}{3})$ và $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{- arcsec (\frac{2 x}{3}) \cdot 3}{3} + \frac{\sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}}{3}) + C$

Bước 10.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$3 \frac{- arcsec (\frac{2 x}{3}) \cdot 3 + \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}}{3} + C$

Bước 10.5

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \frac{- arcsec (\frac{2 x}{3}) \cdot 3 + \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}}{3} + C$

Bước 10.5.2

Viết lại biểu thức.

$- arcsec (\frac{2 x}{3}) \cdot 3 + \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)} + C$

Bước 10.6

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- 3 arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)} + C$

Bước 11

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 3 arcsec (\frac{2}{3} x) + \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)} + C$