Giải tích Ví dụ

$\int \frac{x^{\frac{1}{3}} - 3}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

Bước 1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Di chuyển $x^{\frac{2}{3}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int (x^{\frac{1}{3}} - 3) {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d x$

Bước 1.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{\frac{1}{3}} - 3) x^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d x$

Bước 1.2.2

Nhân $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $- 1$ .

$\int (x^{\frac{1}{3}} - 3) x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d x$

Bước 1.2.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\int (x^{\frac{1}{3}} - 3) x^{\frac{- 2}{3}} d x$

Bước 1.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int (x^{\frac{1}{3}} - 3) x^{- \frac{2}{3}} d x$

Bước 2

Giả sử $u = x^{\frac{1}{3}} - 3$ . Sau đó $d u = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} d x$ , nên $- d u = \frac{- 1}{3 x^{\frac{2}{3}}} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = x^{\frac{1}{3}} - 3$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $x^{\frac{1}{3}} - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} - 3]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{\frac{1}{3}} - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.1.3.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.1.3.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.1.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.1.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.5.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.1.3.5.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.1.3.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.1.4

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + 0$

Bước 2.1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + 0$

Bước 2.1.5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.2.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0$

Bước 2.1.5.2.2

Cộng $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ và $0$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int 3 u d u$

Bước 3

Vì $3$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int u d u$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u$ đối với $u$ là $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại $3 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ ở dạng $3 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$ .

$3 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

Bước 5.2

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{2} + C$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{\frac{1}{3}} - 3$ .

$\frac{3}{2} {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + C$