Giải tích Ví dụ

$\int \frac{1}{\sqrt{9 x^{2} - 4}} d x$

Bước 1

Giả sử $x = \frac{2}{3} \sec (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3}$ dương.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 {(\frac{2}{3} \sec (t))}^{2} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $\sqrt{9 {(\frac{2}{3} \sec (t))}^{2} - 4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $\sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 {(\frac{2 \sec (t)}{3})}^{2} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{2 \sec (t)}{3}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{{(2 \sec (t))}^{2}}{3^{2}} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.1.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{2^{2} \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{4 \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.1.4

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{4 \sec^{2} (t)}{9} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{4 \sec^{2} (t)}{9} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.1.5.2

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 \sec^{2} (t) - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.2

Đưa $4$ ra ngoài $4 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (\sec^{2} (t)) - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.3

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.4

Đưa $4$ ra ngoài $4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (\sec^{2} (t) - 1)}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 \tan^{2} (t)}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.6

Viết lại $4 \tan^{2} (t)$ ở dạng ${(2 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2}}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.7

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int \frac{1}{2 \tan (t)} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Nhân $\frac{1}{2 \tan (t)}$ với $\frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3}$ .

$\int \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{2 \tan (t) \cdot 3} d t$

Bước 2.2.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\int \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{6 \tan (t)} d t$

Bước 2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{2 (\sec (t) \tan (t))}{6 \tan (t)} d t$

Bước 2.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6 \tan (t)$ .

$\int \frac{2 (\sec (t) \tan (t))}{2 (3 \tan (t))} d t$

Bước 2.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{2 (\sec (t) \tan (t))}{2 (3 \tan (t))} d t$

Bước 2.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{\sec (t) \tan (t)}{3 \tan (t)} d t$

Bước 2.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $\tan (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{\sec (t) \tan (t)}{3 \tan (t)} d t$

Bước 2.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{\sec (t)}{3} d t$

Bước 3

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} \int \sec (t) d t$

Bước 4

Tích phân của $\sec (t)$ đối với $t$ là $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)$

Bước 5

Rút gọn.

$\frac{1}{3} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $arcsec (\frac{3 x}{2})$ .

$\frac{1}{3} \ln (| \sec (arcsec (\frac{3 x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{3 x}{2})) |) + C$

Bước 7

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{3} \ln (| \sec (arcsec (\frac{3}{2} x)) + \tan (arcsec (\frac{3}{2} x)) |) + C$