Giải tích Ví dụ

$\int \frac{1}{\sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

Bước 1

Giả sử $x = \sin (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = \cos (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\cos (t)$ dương.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Bước 2.1.2

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Bước 2.1.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Bước 2.1.4

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 \cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Bước 2.1.5

Viết lại $4 \cos^{2} (t)$ ở dạng ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} \cos (t) d t$

Bước 2.1.6

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int \frac{1}{2 \cos (t)} \cos (t) d t$

Bước 2.2

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đưa $\cos (t)$ ra ngoài $2 \cos (t)$ .

$\int \frac{1}{\cos (t) \cdot 2} \cos (t) d t$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{1}{\cos (t) \cdot 2} \cos (t) d t$

Bước 2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{1}{2} d t$

Bước 3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} t + C$

Bước 4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + C$