Giải tích Ví dụ

$f (x) = 5 \sqrt{x^{5}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $\frac{d}{d x} [5 \sqrt{x^{5}}]$ ở dạng $\frac{d}{d x} [5 (x^{2} \sqrt{x})]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Viết lại $x^{5}$ ở dạng ${(x^{2})}^{2} x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Đưa $x^{4}$ ra ngoài.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 \sqrt{x^{4} x})$

Bước 1.1.1.2

Viết lại $x^{4}$ ở dạng ${(x^{2})}^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 \sqrt{{(x^{2})}^{2} x})$

Bước 1.1.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 (x^{2} \sqrt{x}))$

Bước 1.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 (x^{2} x^{\frac{1}{2}}))$

Bước 1.3

Nhân $x^{2}$ với $x^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{2 + \frac{1}{2}})$

Bước 1.3.2

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}})$

Bước 1.3.3

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}})$

Bước 1.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}})$

Bước 1.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.1

Nhân $2$ với $2$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{4 + 1}{2}})$

Bước 1.3.5.2

Cộng $4$ và $1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{5}{2}})$

Bước 1.4

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x^{\frac{5}{2}}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{\frac{5}{2}})$

Bước 1.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{5}{2}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

Bước 1.6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 1.7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 1.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 1.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.9.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

Bước 1.9.2

Trừ $2$ khỏi $5$ .

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

Bước 1.10

Kết hợp $\frac{5}{2}$ và $x^{\frac{3}{2}}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2})$

Bước 1.11

Kết hợp $5$ và $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = \frac{5 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

Bước 1.12

Nhân $5$ với $5$ .

$f' (x) = \frac{25 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $\frac{25}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{25 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ đối với $x$ là $\frac{25}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}})$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Bước 2.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 2.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Bước 2.6.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Bước 2.7

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Bước 2.8

Nhân $\frac{25}{2}$ với $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{25 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 2}$

Bước 2.9

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.1

Nhân $3$ với $25$ .

$f'' (x) = \frac{75 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.9.2

Nhân $2$ với $2$ .

$f'' (x) = \frac{75 x^{\frac{1}{2}}}{4}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $\frac{75}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{75 x^{\frac{1}{2}}}{4}$ đối với $x$ là $\frac{75}{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Bước 3.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 3.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Bước 3.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Bước 3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Bước 3.8

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 3.9

Nhân $\frac{75}{4}$ với $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{75 x^{- \frac{1}{2}}}{4 \cdot 2}$

Bước 3.10

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Nhân $4$ với $2$ .

$f''' (x) = \frac{75 x^{- \frac{1}{2}}}{8}$

Bước 3.10.2

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = \frac{75}{8 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc 4.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $\frac{75}{8}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{75}{8 x^{\frac{1}{2}}}$ đối với $x$ là $\frac{75}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Bước 4.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Viết lại $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ ở dạng ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1})$

Bước 4.2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2} \cdot - 1})$

Bước 4.2.2.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 1}{2}})$

Bước 4.2.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{1}{2}})$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - \frac{1}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Bước 4.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 4.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 4.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 4.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Bước 4.7.2

Trừ $2$ khỏi $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Bước 4.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Bước 4.9

Kết hợp $x^{- \frac{3}{2}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Bước 4.10

Nhân $\frac{75}{8}$ với $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{75 x^{- \frac{3}{2}}}{8 \cdot 2}$

Bước 4.11

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.11.1

Nhân $8$ với $2$ .

$f^{4} (x) = - \frac{75 x^{- \frac{3}{2}}}{16}$

Bước 4.11.2

Di chuyển $x^{- \frac{3}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{75}{16 x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 5

Căn bậc bốn của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{75}{16 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{75}{16 x^{\frac{3}{2}}}$