Giải tích Ví dụ

$x^{4} y^{7} + 4 x^{8} y^{6}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{4} y^{7} + 4 x^{8} y^{6}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{4} y^{7}] + \frac{d}{d x} [4 x^{8} y^{6}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} y^{7}] + \frac{d}{d x} [4 x^{8} y^{6}]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [x^{4} y^{7}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $y^{7}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x^{4} y^{7}$ đối với $x$ là $y^{7} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$y^{7} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{8} y^{6}]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$y^{7} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{8} y^{6}]$

Bước 1.2.3

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $y^{7}$ .

$4 y^{7} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{8} y^{6}]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 x^{8} y^{6}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $4 y^{6}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{8} y^{6}$ đối với $x$ là $4 y^{6} \frac{d}{d x} [x^{8}]$ .

$4 y^{7} x^{3} + 4 y^{6} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 8$ .

$4 y^{7} x^{3} + 4 y^{6} (8 x^{7})$

Bước 1.3.3

Nhân $8$ với $4$ .

$4 y^{7} x^{3} + 32 y^{6} x^{7}$

Bước 1.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = 4 y^{7} x^{3} + 32 x^{7} y^{6}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 y^{7} x^{3} + 32 x^{7} y^{6}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 y^{7} x^{3}] + \frac{d}{d x} [32 x^{7} y^{6}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 y^{7} x^{3}] + \frac{d}{d x} [32 x^{7} y^{6}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [4 y^{7} x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $4 y^{7}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 y^{7} x^{3}$ đối với $x$ là $4 y^{7} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 y^{7} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [32 x^{7} y^{6}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$4 y^{7} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [32 x^{7} y^{6}]$

Bước 2.2.3

Nhân $3$ với $4$ .

$12 y^{7} x^{2} + \frac{d}{d x} [32 x^{7} y^{6}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [32 x^{7} y^{6}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $32 y^{6}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $32 x^{7} y^{6}$ đối với $x$ là $32 y^{6} \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$12 y^{7} x^{2} + 32 y^{6} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 7$ .

$12 y^{7} x^{2} + 32 y^{6} (7 x^{6})$

Bước 2.3.3

Nhân $7$ với $32$ .

$12 y^{7} x^{2} + 224 y^{6} x^{6}$

Bước 2.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = 12 y^{7} x^{2} + 224 x^{6} y^{6}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $12 y^{7} x^{2} + 224 x^{6} y^{6}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [12 y^{7} x^{2}] + \frac{d}{d x} [224 x^{6} y^{6}]$ .

$\frac{d}{d x} [12 y^{7} x^{2}] + \frac{d}{d x} [224 x^{6} y^{6}]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [12 y^{7} x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $12 y^{7}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $12 y^{7} x^{2}$ đối với $x$ là $12 y^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 y^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [224 x^{6} y^{6}]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$12 y^{7} (2 x) + \frac{d}{d x} [224 x^{6} y^{6}]$

Bước 3.2.3

Nhân $2$ với $12$ .

$24 y^{7} x + \frac{d}{d x} [224 x^{6} y^{6}]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [224 x^{6} y^{6}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $224 y^{6}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $224 x^{6} y^{6}$ đối với $x$ là $224 y^{6} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$24 y^{7} x + 224 y^{6} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 6$ .

$24 y^{7} x + 224 y^{6} (6 x^{5})$

Bước 3.3.3

Nhân $6$ với $224$ .

$f''' (x) = 24 y^{7} x + 1344 y^{6} x^{5}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc 4.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $24 y^{7} x + 1344 y^{6} x^{5}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [24 y^{7} x] + \frac{d}{d x} [1344 y^{6} x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [24 y^{7} x] + \frac{d}{d x} [1344 y^{6} x^{5}]$

Bước 4.2

Tính $\frac{d}{d x} [24 y^{7} x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Vì $24 y^{7}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $24 y^{7} x$ đối với $x$ là $24 y^{7} \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 y^{7} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1344 y^{6} x^{5}]$

Bước 4.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$24 y^{7} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1344 y^{6} x^{5}]$

Bước 4.2.3

Nhân $24$ với $1$ .

$24 y^{7} + \frac{d}{d x} [1344 y^{6} x^{5}]$

Bước 4.3

Tính $\frac{d}{d x} [1344 y^{6} x^{5}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $1344 y^{6}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $1344 y^{6} x^{5}$ đối với $x$ là $1344 y^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$24 y^{7} + 1344 y^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Bước 4.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$24 y^{7} + 1344 y^{6} (5 x^{4})$

Bước 4.3.3

Nhân $5$ với $1344$ .

$f^{4} (x) = 24 y^{7} + 6720 y^{6} x^{4}$