Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{\ln (x)}{11 x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $\frac{1}{11}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{\ln (x)}{11 x}$ đối với $x$ là $\frac{1}{11} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{\ln (x)}{x})$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x$ .

$f' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} (\ln (x)) - \ln (x) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Bước 1.3

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x (\frac{1}{x}) - \ln (x) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Bước 1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Bước 1.4.2.2

Viết lại biểu thức.

$f' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Bước 1.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Bước 1.4.4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.4.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Bước 1.4.4.2

Nhân $\frac{1}{11}$ với $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{11 x^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $\frac{1}{11}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1 - \ln (x)}{11 x^{2}}$ đối với $x$ là $\frac{1}{11} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}})$

Bước 2.2

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Bước 2.3.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - \ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.3.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.3.4

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (- \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.3.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \ln (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} (- \frac{d}{d x} \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.4

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} (- \frac{1}{x}) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x^{2}}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.5.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.5.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.5.2.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.5.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.5.2.2.4

Viết lại biểu thức.

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x}{1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.5.2.2.5

Chia $x$ cho $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- x - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- x - (1 - \ln (x)) (2 x)}{x^{4}}$

Bước 2.5.4

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- x - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

Bước 2.5.4.2

Đưa $x$ ra ngoài $- x - 2 (1 - \ln (x)) x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $- x$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x \cdot - 1 - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

Bước 2.5.4.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $- 2 (1 - \ln (x)) x$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

Bước 2.5.4.2.3

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

Bước 2.6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Bước 2.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Bước 2.6.3

Viết lại biểu thức.

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{x^{3}}$

Bước 2.7

Nhân $\frac{1}{11}$ với $\frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{11 x^{3}}$

Bước 2.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 \cdot 1 - 2 (- \ln (x))}{11 x^{3}}$

Bước 2.8.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.2.1.1

Nhân $- 2$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 - 2 (- \ln (x))}{11 x^{3}}$

Bước 2.8.2.1.2

Nhân $- 2 (- \ln (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.2.1.2.1

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 + 2 \ln (x)}{11 x^{3}}$

Bước 2.8.2.1.2.2

Rút gọn $2 \ln (x)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 + \ln (x^{2})}{11 x^{3}}$

Bước 2.8.2.2

Trừ $2$ khỏi $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 3 + \ln (x^{2})}{11 x^{3}}$

Bước 2.8.3

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 3 + \ln (x^{2})}{11 x^{3}}$

Bước 2.8.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $\ln (x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \ln (x^{2}))}{11 x^{3}}$

Bước 2.8.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (3) - 1 (- \ln (x^{2}))$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 (3 - \ln (x^{2}))}{11 x^{3}}$

Bước 2.8.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = - \frac{3 - \ln (x^{2})}{11 x^{3}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- \frac{1}{11}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{3 - \ln (x^{2})}{11 x^{3}}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{11} \frac{d}{d x} [\frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}]$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{d}{d x} \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Bước 3.2

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (3 - \ln (x^{2})) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{{(x^{3})}^{2}}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (3 - \ln (x^{2})) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{3 \cdot 2}}$

Bước 3.3.1.2

Nhân $3$ với $2$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (3 - \ln (x^{2})) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Bước 3.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 - \ln (x^{2})$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2}))) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Bước 3.3.3

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2}))) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Bước 3.3.4

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2})) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Bước 3.3.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \ln (x^{2})$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} (- \frac{d}{d x} \ln (x^{2})) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} (- (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Bước 3.4.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} (- (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Bước 3.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} (- (\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Kết hợp $x^{3}$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x^{3}}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Bước 3.5.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{3}$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{3}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Bước 3.5.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.2.1

Nhân với $1$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Bước 3.5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Bước 3.5.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x}{1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Bước 3.5.2.2.4

Chia $x$ cho $1$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- x \frac{d}{d x} x^{2} - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Bước 3.5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- x (2 x) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Bước 3.5.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- 2 x \cdot x - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Bước 3.6

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- 2 (x \cdot x) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Bước 3.7

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- 2 (x \cdot x) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Bước 3.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- 2 x^{1 + 1} - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Bước 3.9

Cộng $1$ và $1$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- 2 x^{2} - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Bước 3.10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- 2 x^{2} - (3 - \ln (x^{2})) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Bước 3.11

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1

Nhân $3$ với $- 1$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- 2 x^{2} - 3 (3 - \ln (x^{2})) x^{2}}{x^{6}}$

Bước 3.11.2

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $- 2 x^{2} - 3 (3 - \ln (x^{2})) x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.2.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $- 2 x^{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} \cdot - 2 - 3 (3 - \ln (x^{2})) x^{2}}{x^{6}}$

Bước 3.11.2.2

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $- 3 (3 - \ln (x^{2})) x^{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (- 3 (3 - \ln (x^{2})))}{x^{6}}$

Bước 3.11.2.3

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (- 3 (3 - \ln (x^{2})))$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} (- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2})))}{x^{6}}$

Bước 3.12

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{6}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} (- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2})))}{x^{2} x^{4}}$

Bước 3.12.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} (- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2})))}{x^{2} x^{4}}$

Bước 3.12.3

Viết lại biểu thức.

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{4}}$

Bước 3.13

Nhân $\frac{- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{4}}$ với $\frac{1}{11}$ .

$f''' (x) = - \frac{- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{4} \cdot 11}$

Bước 3.14

Di chuyển $11$ sang phía bên trái của $x^{4}$ .

$f''' (x) = - \frac{- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2}))}{11 \cdot x^{4}}$

Bước 3.15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.15.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f''' (x) = - \frac{- 2 - 3 \cdot 3 - 3 (- \ln (x^{2}))}{11 x^{4}}$

Bước 3.15.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.15.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.15.2.1.1

Nhân $- 3$ với $3$ .

$f''' (x) = - \frac{- 2 - 9 - 3 (- \ln (x^{2}))}{11 x^{4}}$

Bước 3.15.2.1.2

Nhân $- 3 (- \ln (x^{2}))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.15.2.1.2.1

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$f''' (x) = - \frac{- 2 - 9 + 3 \ln (x^{2})}{11 x^{4}}$

Bước 3.15.2.1.2.2

Rút gọn $3 \ln (x^{2})$ bằng cách di chuyển $3$ trong logarit.

$f''' (x) = - \frac{- 2 - 9 + \ln ({(x^{2})}^{3})}{11 x^{4}}$

Bước 3.15.2.1.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.15.2.1.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - \frac{- 2 - 9 + \ln (x^{2 \cdot 3})}{11 x^{4}}$

Bước 3.15.2.1.3.2

Nhân $2$ với $3$ .

$f''' (x) = - \frac{- 2 - 9 + \ln (x^{6})}{11 x^{4}}$

Bước 3.15.2.2

Trừ $9$ khỏi $- 2$ .

$f''' (x) = - \frac{- 11 + \ln (x^{6})}{11 x^{4}}$

Bước 3.15.3

Viết lại $- 11$ ở dạng $- 1 (11)$ .

$f''' (x) = - \frac{- 1 \cdot 11 + \ln (x^{6})}{11 x^{4}}$

Bước 3.15.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $\ln (x^{6})$ .

$f''' (x) = - \frac{- 1 \cdot 11 - 1 (- \ln (x^{6}))}{11 x^{4}}$

Bước 3.15.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (11) - 1 (- \ln (x^{6}))$ .

$f''' (x) = - \frac{- 1 (11 - \ln (x^{6}))}{11 x^{4}}$

Bước 3.15.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f''' (x) = \frac{11 - \ln (x^{6})}{11 x^{4}}$

Bước 3.15.7

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f''' (x) = 1 (\frac{11 - \ln (x^{6})}{11 x^{4}})$

Bước 3.15.8

Nhân $\frac{11 - \ln (x^{6})}{11 x^{4}}$ với $1$ .

$f''' (x) = \frac{11 - \ln (x^{6})}{11 x^{4}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc 4.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $\frac{1}{11}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{11 - \ln (x^{6})}{11 x^{4}}$ đối với $x$ là $\frac{1}{11} \frac{d}{d x} [\frac{11 - \ln (x^{6})}{x^{4}}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{11 - \ln (x^{6})}{x^{4}})$

Bước 4.2

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (11 - \ln (x^{6})) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{{(x^{4})}^{2}}$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{4})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (11 - \ln (x^{6})) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{4 \cdot 2}}$

Bước 4.3.1.2

Nhân $4$ với $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (11 - \ln (x^{6})) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Bước 4.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $11 - \ln (x^{6})$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [11] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{6})]$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} (\frac{d}{d x} (11) + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{6}))) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Bước 4.3.3

Vì $11$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $11$ đối với $x$ là $0$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{6}))) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Bước 4.3.4

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{6})]$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (- \ln (x^{6})) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Bước 4.3.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \ln (x^{6})$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})]$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} (- \frac{d}{d x} \ln (x^{6})) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Bước 4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x^{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{6}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} (- (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{6}))) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Bước 4.4.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} (- (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{6}))) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Bước 4.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{6}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} (- (\frac{1}{x^{6}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{6}))) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Bước 4.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Kết hợp $x^{4}$ và $\frac{1}{x^{6}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x^{4}}{x^{6}} \cdot \frac{d}{d x} x^{6} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Bước 4.5.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{4}$ và $x^{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.1

Nhân với $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x^{4} \cdot 1}{x^{6}} \cdot \frac{d}{d x} x^{6} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Bước 4.5.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.2.1

Đưa $x^{4}$ ra ngoài $x^{6}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x^{4} \cdot 1}{x^{4} x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{6} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Bước 4.5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x^{4} \cdot 1}{x^{4} x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{6} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Bước 4.5.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{6} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Bước 4.5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 6$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{1}{x^{2}} \cdot (6 x^{5}) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Bước 4.5.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.4.1

Nhân $6$ với $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- 6 \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{5} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Bước 4.5.4.2

Kết hợp $- 6$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{\frac{- 6}{x^{2}} \cdot x^{5} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Bước 4.5.4.3

Kết hợp $\frac{- 6}{x^{2}}$ và $x^{5}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{\frac{- 6 x^{5}}{x^{2}} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Bước 4.5.4.4

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{5}$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.4.4.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $- 6 x^{5}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{\frac{x^{2} (- 6 x^{3})}{x^{2}} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Bước 4.5.4.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.4.4.2.1

Nhân với $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{\frac{x^{2} (- 6 x^{3})}{x^{2} \cdot 1} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Bước 4.5.4.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{\frac{x^{2} (- 6 x^{3})}{x^{2} \cdot 1} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Bước 4.5.4.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{\frac{- 6 x^{3}}{1} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Bước 4.5.4.4.2.4

Chia $- 6 x^{3}$ cho $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- 6 x^{3} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Bước 4.5.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- 6 x^{3} - (11 - \ln (x^{6})) (4 x^{3})}{x^{8}}$

Bước 4.5.6

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.6.1

Nhân $4$ với $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- 6 x^{3} - 4 (11 - \ln (x^{6})) x^{3}}{x^{8}}$

Bước 4.5.6.2

Nhân $\frac{1}{11}$ với $\frac{- 6 x^{3} - 4 (11 - \ln (x^{6})) x^{3}}{x^{8}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 6 x^{3} - 4 (11 - \ln (x^{6})) x^{3}}{11 x^{8}}$

Bước 4.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{4} (x) = \frac{- 6 x^{3} + (- 4 \cdot 11 - 4 (- \ln (x^{6}))) x^{3}}{11 x^{8}}$

Bước 4.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{4} (x) = \frac{- 6 x^{3} - 4 \cdot (11 x^{3}) - 4 (- \ln (x^{6})) x^{3}}{11 x^{8}}$

Bước 4.6.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.3.1.1

Nhân $- 4$ với $11$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 6 x^{3} - 44 x^{3} - 4 (- \ln (x^{6})) x^{3}}{11 x^{8}}$

Bước 4.6.3.1.2

Nhân $- 4 (- \ln (x^{6}))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.3.1.2.1

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 6 x^{3} - 44 x^{3} + 4 \ln (x^{6}) x^{3}}{11 x^{8}}$

Bước 4.6.3.1.2.2

Rút gọn $4 \ln (x^{6})$ bằng cách di chuyển $4$ trong logarit.

$f^{4} (x) = \frac{- 6 x^{3} - 44 x^{3} + \ln ({(x^{6})}^{4}) x^{3}}{11 x^{8}}$

Bước 4.6.3.1.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{6})}^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.3.1.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 6 x^{3} - 44 x^{3} + \ln (x^{6 \cdot 4}) x^{3}}{11 x^{8}}$

Bước 4.6.3.1.3.2

Nhân $6$ với $4$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 6 x^{3} - 44 x^{3} + \ln (x^{24}) x^{3}}{11 x^{8}}$

Bước 4.6.3.2

Trừ $44 x^{3}$ khỏi $- 6 x^{3}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 50 x^{3} + \ln (x^{24}) x^{3}}{11 x^{8}}$

Bước 4.6.3.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $- 50 x^{3} + \ln (x^{24}) x^{3}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 50 x^{3} + x^{3} \ln (x^{24})}{11 x^{8}}$

Bước 4.6.4

Đưa $x^{3}$ ra ngoài $- 50 x^{3} + x^{3} \ln (x^{24})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.4.1

Đưa $x^{3}$ ra ngoài $- 50 x^{3}$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} \cdot - 50 + x^{3} \ln (x^{24})}{11 x^{8}}$

Bước 4.6.4.2

Đưa $x^{3}$ ra ngoài $x^{3} \ln (x^{24})$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} \cdot - 50 + x^{3} (\ln (x^{24}))}{11 x^{8}}$

Bước 4.6.4.3

Đưa $x^{3}$ ra ngoài $x^{3} \cdot - 50 + x^{3} (\ln (x^{24}))$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} (- 50 + \ln (x^{24}))}{11 x^{8}}$

Bước 4.6.5

Khai triển $\ln (x^{24})$ bằng cách di chuyển $24$ ra bên ngoài lôgarit.

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} (- 50 + 24 \ln (x))}{11 x^{8}}$

Bước 4.6.6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.6.1

Đưa $x^{3}$ ra ngoài $11 x^{8}$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} (- 50 + 24 \ln (x))}{x^{3} (11 x^{5})}$

Bước 4.6.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} (- 50 + 24 \ln (x))}{x^{3} (11 x^{5})}$

Bước 4.6.6.3

Viết lại biểu thức.

$f^{4} (x) = \frac{- 50 + 24 \ln (x)}{11 x^{5}}$

Bước 4.6.7

Đưa $2$ ra ngoài $- 50 + 24 \ln (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.7.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 50$ .

$f^{4} (x) = \frac{2 (- 25) + 24 \ln (x)}{11 x^{5}}$

Bước 4.6.7.2

Đưa $2$ ra ngoài $24 \ln (x)$ .

$f^{4} (x) = \frac{2 (- 25) + 2 (12 \ln (x))}{11 x^{5}}$

Bước 4.6.7.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- 25) + 2 (12 \ln (x))$ .

$f^{4} (x) = \frac{2 (- 25 + 12 \ln (x))}{11 x^{5}}$

Bước 4.6.8

Viết lại $- 25$ ở dạng $- 1 (25)$ .

$f^{4} (x) = \frac{2 (- 1 \cdot 25 + 12 \ln (x))}{11 x^{5}}$

Bước 4.6.9

Đưa $- 1$ ra ngoài $12 \ln (x)$ .

$f^{4} (x) = \frac{2 (- 1 \cdot 25 - (- 12 \ln (x)))}{11 x^{5}}$

Bước 4.6.10

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (25) - (- 12 \ln (x))$ .

$f^{4} (x) = \frac{2 (- 1 (25 - 12 \ln (x)))}{11 x^{5}}$

Bước 4.6.11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f^{4} (x) = - \frac{2 (25 - 12 \ln (x))}{11 x^{5}}$

Bước 5

Căn bậc bốn của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{2 (25 - 12 \ln (x))}{11 x^{5}}$ .

$- \frac{2 (25 - 12 \ln (x))}{11 x^{5}}$