Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{2} x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Bước 1.2.3

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Bước 1.2.4

Kết hợp $\frac{4}{2}$ và $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Bước 1.2.5

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Bước 1.2.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Bước 1.2.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Bước 1.2.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Bước 1.2.5.2.4

Chia $2 x^{3}$ cho $1$ .

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{3}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$2 x^{3} + 2 (3 x^{2})$

Bước 1.3.3

Nhân $3$ với $2$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 6 x^{2}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{3} + 6 x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{3}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

Bước 2.2.3

Nhân $3$ với $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x^{2}$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$6 x^{2} + 6 (2 x)$

Bước 2.3.3

Nhân $2$ với $6$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} + 12 x$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $6 x^{2} + 12 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x^{2}$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x]$

Bước 3.2.3

Nhân $2$ với $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [12 x]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $12 x$ đối với $x$ là $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x + 12 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$12 x + 12 \cdot 1$

Bước 3.3.3

Nhân $12$ với $1$ .

$f''' (x) = 12 x + 12$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc 4.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $12 x + 12$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Bước 4.2

Tính $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $12 x$ đối với $x$ là $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

Bước 4.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]$

Bước 4.2.3

Nhân $12$ với $1$ .

$12 + \frac{d}{d x} [12]$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $12$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $12$ đối với $x$ là $0$ .

$12 + 0$

Bước 4.3.2

Cộng $12$ và $0$ .

$f^{4} (x) = 12$

Bước 5

Căn bậc bốn của $f (x)$ đối với $x$ là $12$ .

$12$