Giải tích Ví dụ

$\int (x^{2} + 5 x + 6) \cos (2 x) d x$

Bước 1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int x^{2} \cos (2 x) + 5 x \cos (2 x) + 6 \cos (2 x) d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int x^{2} \cos (2 x) d x + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Bước 3

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x^{2}$ và $d v = \cos (2 x)$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} \sin (2 x)) - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (2 x) d x + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sin (2 x)$ .

$x^{2} \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (2 x) d x + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Bước 4.2

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (2 x) d x + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Bước 5

Vì $\frac{1}{2} \cdot 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2} \cdot 2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int \sin (2 x) (x) d x) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int \sin (2 x) (x) d x) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int \sin (2 x) (x) d x) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Bước 6.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (1 \int \sin (2 x) (x) d x) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Bước 6.3

Nhân $\int \sin (2 x) (x) d x$ với $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - \int \sin (2 x) (x) d x + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Bước 7

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = \sin (2 x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\cos (2 x)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Bước 8.2

Kết hợp $x$ và $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Bước 8.3

Kết hợp $\cos (2 x)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{\cos (2 x)}{2} d x) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Bước 9

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - - \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Bước 10.2

Nhân $\int \frac{\cos (2 x)}{2} d x$ với $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Bước 11

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Bước 12

Giả sử $u_{1} = 2 x$ . Sau đó $d u_{1} = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Hãy đặt $u_{1} = 2 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 12.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 12.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 12.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 12.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Bước 13

Kết hợp $\cos (u_{1})$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Bước 14

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) d u_{1})) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Bước 15.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Bước 16

Tích phân của $\cos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\sin (u_{1})$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Bước 17

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 \int x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Bước 18

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = \cos (2 x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (x (\frac{1}{2} \sin (2 x)) - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x) + \int 6 \cos (2 x) d x$

Bước 19

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sin (2 x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (x \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x) + \int 6 \cos (2 x) d x$

Bước 19.2

Kết hợp $x$ và $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x) + \int 6 \cos (2 x) d x$

Bước 19.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sin (2 x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \int \frac{\sin (2 x)}{2} d x) + \int 6 \cos (2 x) d x$

Bước 20

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - (\frac{1}{2} \int \sin (2 x) d x)) + \int 6 \cos (2 x) d x$

Bước 21

Giả sử $u_{2} = 2 x$ . Sau đó $d u_{2} = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.1

Hãy đặt $u_{2} = 2 x$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 21.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 21.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 21.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 21.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \int \sin (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}) + \int 6 \cos (2 x) d x$

Bước 22

Kết hợp $\sin (u_{2})$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin (u_{2})}{2} d u_{2}) + \int 6 \cos (2 x) d x$

Bước 23

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sin (u_{2}) d u_{2})) + \int 6 \cos (2 x) d x$

Bước 24

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \sin (u_{2}) d u_{2}) + \int 6 \cos (2 x) d x$

Bước 24.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2}) + \int 6 \cos (2 x) d x$

Bước 25

Tích phân của $\sin (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)) + \int 6 \cos (2 x) d x$

Bước 26

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)) + 6 \int \cos (2 x) d x$

Bước 27

Giả sử $u_{3} = 2 x$ . Sau đó $d u_{3} = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{3} = d x$ . Viết lại bằng $u_{3}$ và $d$ $u_{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 27.1

Hãy đặt $u_{3} = 2 x$ . Tìm $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 27.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 27.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 27.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 27.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 27.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{3}$ và $d u_{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)) + 6 \int \cos (u_{3}) \frac{1}{2} d u_{3}$

Bước 28

Kết hợp $\cos (u_{3})$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)) + 6 \int \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3}$

Bước 29

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{3}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)) + 6 (\frac{1}{2} \int \cos (u_{3}) d u_{3})$

Bước 30

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 30.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $6$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)) + \frac{6}{2} \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

Bước 30.2

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 30.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)) + \frac{2 \cdot 3}{2} \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

Bước 30.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 30.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)) + \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

Bước 30.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)) + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

Bước 30.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)) + \frac{3}{1} \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

Bước 30.2.2.4

Chia $3$ cho $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)) + 3 \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

Bước 31

Tích phân của $\cos (u_{3})$ đối với $u_{3}$ là $\sin (u_{3})$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)) + 3 (\sin (u_{3}) + C)$

Bước 32

Rút gọn.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u_{1})}{4} + \frac{5 x \sin (2 x)}{2} + \frac{5 \cos (u_{2})}{4} + 3 \sin (u_{3}) + C$

Bước 33

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 33.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{5 x \sin (2 x)}{2} + \frac{5 \cos (u_{2})}{4} + 3 \sin (u_{3}) + C$

Bước 33.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{5 x \sin (2 x)}{2} + \frac{5 \cos (2 x)}{4} + 3 \sin (u_{3}) + C$

Bước 33.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $2 x$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{5 x \sin (2 x)}{2} + \frac{5 \cos (2 x)}{4} + 3 \sin (2 x) + C$

Bước 34

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} x^{2} \sin (2 x) + \frac{1}{2} x \cos (2 x) - \frac{1}{4} \sin (2 x) + \frac{5}{2} x \sin (2 x) + \frac{5}{4} \cos (2 x) + 3 \sin (2 x) + C$