Giải tích Ví dụ

$\int \sqrt{r} - \frac{1}{r^{3}} d r$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \sqrt{r} d r + \int - \frac{1}{r^{3}} d r$

Bước 2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{r}$ ở dạng $r^{\frac{1}{2}}$ .

$\int r^{\frac{1}{2}} d r + \int - \frac{1}{r^{3}} d r$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $r^{\frac{1}{2}}$ đối với $r$ là $\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C + \int - \frac{1}{r^{3}} d r$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $r$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - \int \frac{1}{r^{3}} d r$

Bước 5

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển $r^{3}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - \int {(r^{3})}^{- 1} d r$

Bước 5.2

Nhân các số mũ trong ${(r^{3})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - \int r^{3 \cdot - 1} d r$

Bước 5.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - \int r^{- 3} d r$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $r^{- 3}$ đối với $r$ là $- \frac{1}{2} r^{- 2}$ .

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - (- \frac{1}{2} r^{- 2} + C)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Kết hợp $r^{- 2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - (- \frac{r^{- 2}}{2} + C)$

Bước 7.1.2

Di chuyển $r^{- 2}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - (- \frac{1}{2 r^{2}} + C)$

Bước 7.2

Rút gọn.

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} - - \frac{1}{2 r^{2}} + C$

Bước 7.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + 1 \frac{1}{2 r^{2}} + C$

Bước 7.3.2

Nhân $\frac{1}{2 r^{2}}$ với $1$ .

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 r^{2}} + C$