Giải tích Ví dụ

$\int t^{3} + e^{5 t} d t$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int t^{3} d t + \int e^{5 t} d t$

Bước 2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t^{3}$ đối với $t$ là $\frac{1}{4} t^{4}$ .

$\frac{1}{4} t^{4} + C + \int e^{5 t} d t$

Bước 3

Giả sử $u = 5 t$ . Sau đó $d u = 5 d t$ , nên $\frac{1}{5} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = 5 t$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $5 t$ .

$\frac{d}{d t} [5 t]$

Bước 3.1.2

Vì $5$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $5 t$ đối với $t$ là $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$5 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Bước 3.1.4

Nhân $5$ với $1$ .

$5$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{1}{4} t^{4} + C + \int e^{u} \frac{1}{5} d u$

Bước 4

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{4} t^{4} + C + \int \frac{e^{u}}{5} d u$

Bước 5

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{5}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} t^{4} + C + \frac{1}{5} \int e^{u} d u$

Bước 6

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$\frac{1}{4} t^{4} + C + \frac{1}{5} (e^{u} + C)$

Bước 7

Rút gọn.

$\frac{1}{4} t^{4} + \frac{1}{5} e^{u} + C$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $5 t$ .

$\frac{1}{4} t^{4} + \frac{1}{5} e^{5 t} + C$