Giải tích Ví dụ

$\int e^{8 x} + e^{- 9 x} d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int e^{8 x} d x + \int e^{- 9 x} d x$

Bước 2

Giả sử $u_{1} = 8 x$ . Sau đó $d u_{1} = 8 d x$ , nên $\frac{1}{8} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u_{1} = 8 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $8 x$ .

$\frac{d}{d x} [8 x]$

Bước 2.1.2

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 x$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$8 \cdot 1$

Bước 2.1.4

Nhân $8$ với $1$ .

$8$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{8} d u_{1} + \int e^{- 9 x} d x$

Bước 3

Kết hợp $e^{u_{1}}$ và $\frac{1}{8}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{8} d u_{1} + \int e^{- 9 x} d x$

Bước 4

Vì $\frac{1}{8}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{8}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{8} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int e^{- 9 x} d x$

Bước 5

Tích phân của $e^{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{8} (e^{u_{1}} + C) + \int e^{- 9 x} d x$

Bước 6

Giả sử $u_{2} = - 9 x$ . Sau đó $d u_{2} = - 9 d x$ , nên $- \frac{1}{9} d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u_{2} = - 9 x$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $- 9 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 9 x]$

Bước 6.1.2

Vì $- 9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 9 x$ đối với $x$ là $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 6.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 9 \cdot 1$

Bước 6.1.4

Nhân $- 9$ với $1$ .

$- 9$

Bước 6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{1}{8} (e^{u_{1}} + C) + \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 9} d u_{2}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{8} (e^{u_{1}} + C) + \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{9}) d u_{2}$

Bước 7.2

Kết hợp $e^{u_{2}}$ và $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{8} (e^{u_{1}} + C) + \int - \frac{e^{u_{2}}}{9} d u_{2}$

Bước 8

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{8} (e^{u_{1}} + C) - \int \frac{e^{u_{2}}}{9} d u_{2}$

Bước 9

Vì $\frac{1}{9}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{9}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{8} (e^{u_{1}} + C) - (\frac{1}{9} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Bước 10

Tích phân của $e^{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{8} (e^{u_{1}} + C) - \frac{1}{9} (e^{u_{2}} + C)$

Bước 11

Rút gọn.

$\frac{1}{8} e^{u_{1}} - \frac{1}{9} e^{u_{2}} + C$

Bước 12

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $8 x$ .

$\frac{1}{8} e^{8 x} - \frac{1}{9} e^{u_{2}} + C$

Bước 12.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- 9 x$ .

$\frac{1}{8} e^{8 x} - \frac{1}{9} e^{- 9 x} + C$