Giải tích Ví dụ

$\sin (x) + \cos (x)$

Bước 1

Viết $\sin (x) + \cos (x)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \sin (x) + \cos (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sin (x) + \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 2.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$\cos (x) - \sin (x)$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\cos (x) - \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Bước 3.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \sin (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - \sin (x) - \frac{d}{d x} \sin (x)$

Bước 3.3.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) - \cos (x)$

Bước 4

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Bước 5

Chia mỗi số hạng trong phương trình cho $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 6

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 6.2

Viết lại biểu thức.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 7

Tách các phân số.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 8

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 9

Chia $- 1$ cho $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 10

Tách các phân số.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Bước 11

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Bước 12

Chia $0$ cho $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Bước 13

Nhân $0$ với $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

Bước 14

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \tan (x) = - 1$

Bước 15

Chia mỗi số hạng trong $- \tan (x) = - 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Chia mỗi số hạng trong $- \tan (x) = - 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 15.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 15.2.2

Chia $\tan (x)$ cho $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 15.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.3.1

Chia $- 1$ cho $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Bước 16

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm tang.

$x = \arctan (1)$

Bước 17

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Giá trị chính xác của $\arctan (1)$ là $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Bước 18

Hàm tang dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy cộng góc tham chiếu từ $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = π + \frac{π}{4}$

Bước 19

Rút gọn $π + \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Bước 19.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Bước 19.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Bước 19.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.3.1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Bước 19.3.2

Cộng $4 π$ và $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Bước 20

Đáp án của phương trình $x = \frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Bước 21

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{π}{4}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})$

Bước 22

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Bước 22.1.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 22.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Bước 22.2.2

Trừ $\sqrt{2}$ khỏi $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Bước 22.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Bước 22.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Bước 22.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Bước 22.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- \sqrt{2}}{1}$

Bước 22.2.3.2.4

Chia $- \sqrt{2}$ cho $1$ .

$- \sqrt{2}$

Bước 23

$x = \frac{π}{4}$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{π}{4}$ là cực đại địa phương

Bước 24

Tìm giá trị y khi $x = \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{π}{4}$ trong biểu thức.

$f (\frac{π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{4})$

Bước 24.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.2.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

Bước 24.2.1.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 24.2.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.2.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Bước 24.2.2.2

Cộng $\sqrt{2}$ và $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Bước 24.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.2.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Bước 24.2.2.3.2

Chia $\sqrt{2}$ cho $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \sqrt{2}$

Bước 24.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2}$

Bước 25

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{5 π}{4}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- \sin (\frac{5 π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{4})$

Bước 26

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 26.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 26.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì sin âm trong góc phần tư thứ ba.

$- - \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{4})$

Bước 26.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{5 π}{4})$

Bước 26.1.3

Nhân $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 26.1.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{5 π}{4})$

Bước 26.1.3.2

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{2}$ với $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{5 π}{4})$

Bước 26.1.4

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ ba.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - - \cos (\frac{π}{4})$

Bước 26.1.5

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 26.1.6

Nhân $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 26.1.6.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 26.1.6.2

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{2}$ với $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 26.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 26.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Bước 26.2.2

Cộng $\sqrt{2}$ và $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Bước 26.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 26.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Bước 26.2.3.2

Chia $\sqrt{2}$ cho $1$ .

$\sqrt{2}$

Bước 27

$x = \frac{5 π}{4}$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{5 π}{4}$ là cực tiểu địa phương

Bước 28

Tìm giá trị y khi $x = \frac{5 π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 28.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{5 π}{4}$ trong biểu thức.

$f (\frac{5 π}{4}) = \sin (\frac{5 π}{4}) + \cos (\frac{5 π}{4})$

Bước 28.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 28.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 28.2.1.1

$f (\frac{5 π}{4}) = - \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{5 π}{4})$

Bước 28.2.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{5 π}{4})$

Bước 28.2.1.3

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Bước 28.2.1.4

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 28.2.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 28.2.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Bước 28.2.2.2

Trừ $\sqrt{2}$ khỏi $- \sqrt{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Bước 28.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 28.2.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Bước 28.2.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 28.2.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Bước 28.2.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Bước 28.2.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- \sqrt{2}}{1}$

Bước 28.2.2.3.2.4

Chia $- \sqrt{2}$ cho $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \sqrt{2}$

Bước 28.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

Bước 29

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

$(\frac{π}{4}, \sqrt{2})$ là một cực đại địa phuơng

$(\frac{5 π}{4}, - \sqrt{2})$ là một cực tiểu địa phương

Bước 30