Giải tích Ví dụ

Ước Tính Bằng Cách Sử Dụng Quy Tắc L'Hôpital giới hạn khi x tiến dần đến 0 của (e^x-e^(-x))/(sin(x))
Bước 1
Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.1
Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.
Bước 1.2
Tính giới hạn của tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.1
Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi tiến dần đến .
Bước 1.2.2
Đưa giới hạn vào trong số mũ.
Bước 1.2.3
Đưa giới hạn vào trong số mũ.
Bước 1.2.4
Chuyển số hạng ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với .
Bước 1.2.5
Tính các giới hạn bằng cách điền vào cho tất cả các lần xảy ra của .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.5.1
Tính giới hạn của bằng cách điền vào cho .
Bước 1.2.5.2
Tính giới hạn của bằng cách điền vào cho .
Bước 1.2.6
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.6.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.6.1.1
Bất kỳ đại lượng nào mũ lên đều là .
Bước 1.2.6.1.2
Bất kỳ đại lượng nào mũ lên đều là .
Bước 1.2.6.1.3
Nhân với .
Bước 1.2.6.2
Trừ khỏi .
Bước 1.3
Tính giới hạn của mẫu số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.3.1
Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.
Bước 1.3.2
Tính giới hạn của bằng cách điền vào cho .
Bước 1.3.3
Giá trị chính xác của .
Bước 1.3.4
Biểu thức chứa một phép chia cho . Biểu thức không xác định.
Không xác định
Bước 1.4
Biểu thức chứa một phép chia cho . Biểu thức không xác định.
Không xác định
Bước 2
ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.
Bước 3
Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.1
Tính đạo hàm tử số và mẫu số.
Bước 3.2
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 3.3
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng trong đó =.
Bước 3.4
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.4.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 3.4.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng trong đó .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.4.2.1
Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập ở dạng .
Bước 3.4.2.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng trong đó =.
Bước 3.4.2.3
Thay thế tất cả các lần xuất hiện của với .
Bước 3.4.3
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 3.4.4
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 3.4.5
Nhân với .
Bước 3.4.6
Di chuyển sang phía bên trái của .
Bước 3.4.7
Viết lại ở dạng .
Bước 3.4.8
Nhân với .
Bước 3.4.9
Nhân với .
Bước 3.5
Đạo hàm của đối với .
Bước 4
Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi tiến dần đến .
Bước 5
Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi tiến dần đến .
Bước 6
Đưa giới hạn vào trong số mũ.
Bước 7
Đưa giới hạn vào trong số mũ.
Bước 8
Chuyển số hạng ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với .
Bước 9
Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.
Bước 10
Tính các giới hạn bằng cách điền vào cho tất cả các lần xảy ra của .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 10.1
Tính giới hạn của bằng cách điền vào cho .
Bước 10.2
Tính giới hạn của bằng cách điền vào cho .
Bước 10.3
Tính giới hạn của bằng cách điền vào cho .
Bước 11
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 11.1
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 11.1.1
Bất kỳ đại lượng nào mũ lên đều là .
Bước 11.1.2
Bất kỳ đại lượng nào mũ lên đều là .
Bước 11.1.3
Cộng .
Bước 11.2
Giá trị chính xác của .
Bước 11.3
Chia cho .