Giải tích Ví dụ

$\sum_{k = 1}^{8} k (6 k + 7)$

Bước 1

Rút gọn tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$k (6 k) + k \cdot 7$

Bước 1.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$6 k \cdot k + k \cdot 7$

Bước 1.3

Di chuyển $7$ sang phía bên trái của $k$ .

$6 k \cdot k + 7 \cdot k$

Bước 1.4

Nhân $k$ với $k$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Di chuyển $k$ .

$6 (k \cdot k) + 7 \cdot k$

Bước 1.4.2

Nhân $k$ với $k$ .

$6 k^{2} + 7 \cdot k$

$6 k^{2} + 7 k$

Bước 1.5

Viết lại tổng.

$\sum_{k = 1}^{8} 6 k^{2} + 7 k$

Bước 2

Tách tổng thành các tổng nhỏ hơn phù hợp với quy tắc tổng.

$\sum_{k = 1}^{8} 6 k^{2} + 7 k = 6 \sum_{k = 1}^{8} k^{2} + 7 \sum_{k = 1}^{8} k$

Bước 3

Tính $6 \sum_{k = 1}^{8} k^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $2$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Bước 3.2

Thay các giá trị vào công thức và hãy chắc chắn rằng chúng được nhân với số hạng phía trước.

$(6) (\frac{8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{6})$

Bước 3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Cộng $8$ và $1$ .

$6 \frac{8 \cdot 9 (2 \cdot 8 + 1)}{6}$

Bước 3.3.1.2

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.2.1

Nhân $8$ với $9$ .

$6 \frac{72 (2 \cdot 8 + 1)}{6}$

Bước 3.3.1.2.2

Nhân $2$ với $8$ .

$6 \frac{72 (16 + 1)}{6}$

Bước 3.3.1.3

Cộng $16$ và $1$ .

$6 \frac{72 \cdot 17}{6}$

Bước 3.3.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Nhân $72$ với $17$ .

$6 (\frac{1224}{6})$

Bước 3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$6 (\frac{1224}{6})$

Bước 3.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$1224$

Bước 4

Tính $7 \sum_{k = 1}^{8} k$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $1$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Bước 4.2

Thay các giá trị vào công thức và hãy chắc chắn rằng chúng được nhân với số hạng phía trước.

$(7) (\frac{8 (8 + 1)}{2})$

Bước 4.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Cộng $8$ và $1$ .

$7 \frac{8 \cdot 9}{2}$

Bước 4.3.2

Nhân $8$ với $9$ .

$7 (\frac{72}{2})$

Bước 4.3.3

Chia $72$ cho $2$ .

$7 \cdot 36$

Bước 4.3.4

Nhân $7$ với $36$ .

$252$

Bước 5

Cộng các kết quả của tổng.

$1224 + 252$

Bước 6

Cộng $1224$ và $252$ .

$1476$