Giải tích Ví dụ

$\sum_{k = 1}^{30} k (k - 2) (k + 2)$

Bước 1

Rút gọn tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(k \cdot k + k \cdot - 2) (k + 2)$

Bước 1.2

Nhân $k$ với $k$ .

$(k^{2} + k \cdot - 2) (k + 2)$

Bước 1.3

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $k$ .

$(k^{2} - 2 \cdot k) (k + 2)$

Bước 1.4

Khai triển $(k^{2} - 2 k) (k + 2)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$k^{2} (k + 2) - 2 k (k + 2)$

Bước 1.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$k^{2} k + k^{2} \cdot 2 - 2 k (k + 2)$

Bước 1.4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$k^{2} k + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

Bước 1.5

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Nhân $k^{2}$ với $k$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1.1

Nhân $k^{2}$ với $k$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1.1.1

Nâng $k$ lên lũy thừa $1$ .

$k^{2} k^{1} + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

Bước 1.5.1.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$k^{2 + 1} + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

Bước 1.5.1.1.2

Cộng $2$ và $1$ .

$k^{3} + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

Bước 1.5.1.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $k^{2}$ .

$k^{3} + 2 \cdot k^{2} - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

Bước 1.5.1.3

Nhân $k$ với $k$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.3.1

Di chuyển $k$ .

$k^{3} + 2 k^{2} - 2 (k \cdot k) - 2 k \cdot 2$

Bước 1.5.1.3.2

Nhân $k$ với $k$ .

$k^{3} + 2 k^{2} - 2 k^{2} - 2 k \cdot 2$

Bước 1.5.1.4

Nhân $2$ với $- 2$ .

$k^{3} + 2 k^{2} - 2 k^{2} - 4 k$

Bước 1.5.2

Trừ $2 k^{2}$ khỏi $2 k^{2}$ .

$k^{3} + 0 - 4 k$

Bước 1.5.3

Cộng $k^{3}$ và $0$ .

$k^{3} - 4 k$

Bước 1.6

Viết lại tổng.

$\sum_{k = 1}^{30} k^{3} - 4 k$

Bước 2

Tách tổng thành các tổng nhỏ hơn phù hợp với quy tắc tổng.

$\sum_{k = 1}^{30} k^{3} - 4 k = \sum_{k = 1}^{30} k^{3} - 4 \sum_{k = 1}^{30} k$

Bước 3

Tính $\sum_{k = 1}^{30} k^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $3$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

Bước 3.2

Thay các giá trị vào công thức.

$\frac{30^{2} {(30 + 1)}^{2}}{4}$

Bước 3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Cộng $30$ và $1$ .

$\frac{30^{2} \cdot 31^{2}}{4}$

Bước 3.3.1.2

Nâng $30$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{900 \cdot 31^{2}}{4}$

Bước 3.3.1.3

Nâng $31$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{900 \cdot 961}{4}$

Bước 3.3.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Nhân $900$ với $961$ .

$\frac{864900}{4}$

Bước 3.3.2.2

Chia $864900$ cho $4$ .

$216225$

Bước 4

Tính $4 \sum_{k = 1}^{30} k$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $1$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Bước 4.2

Thay các giá trị vào công thức và hãy chắc chắn rằng chúng được nhân với số hạng phía trước.

$(- 4) (\frac{30 (30 + 1)}{2})$

Bước 4.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Cộng $30$ và $1$ .

$- 4 \frac{30 \cdot 31}{2}$

Bước 4.3.1.2

Nhân $30$ với $31$ .

$- 4 (\frac{930}{2})$

Bước 4.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$2 (- 2) \frac{930}{2}$

Bước 4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot - 2 \frac{930}{2}$

Bước 4.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$- 2 \cdot 930$

Bước 4.3.3

Nhân $- 2$ với $930$ .

$- 1860$

Bước 5

Cộng các kết quả của tổng.

$216225 - 1860$

Bước 6

Trừ $1860$ khỏi $216225$ .

$214365$