Giải tích Ví dụ

$\sum_{k = 0}^{10} 4 {(\frac{1}{2})}^{k}$

Bước 1

Tổng của một chuỗi cấp số nhân hữu hạn có thể được xác định bằng cách dùng công thức $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ với $a$ là số hạng đầu tiên và $r$ là tỉ số giữa hai số hạng kề nhau.

Bước 2

Tìm tỉ số giữa các số hạng liền kề bằng cách thế vào công thức $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay $a_{k}$ và $a_{k + 1}$ vào công thức cho $r$ .

$r = \frac{4 {(\frac{1}{2})}^{k + 1}}{4 {(\frac{1}{2})}^{k}}$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{4 {(\frac{1}{2})}^{k + 1}}{4 {(\frac{1}{2})}^{k}}$

Bước 2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k + 1}}{{(\frac{1}{2})}^{k}}$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của ${(\frac{1}{2})}^{k + 1}$ và ${(\frac{1}{2})}^{k}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Đưa ${(\frac{1}{2})}^{k}$ ra ngoài ${(\frac{1}{2})}^{k + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{k}}$

Bước 2.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1

Nhân với $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{k} \cdot 1}$

Bước 2.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{k} \cdot 1}$

Bước 2.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{\frac{1}{2}}{1}$

Bước 2.2.2.2.4

Chia $\frac{1}{2}$ cho $1$ .

$r = \frac{1}{2}$

Bước 3

Tìm số hạng đầu tiên trong chuỗi bằng cách thay biên dưới vào và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay $0$ cho $k$ vào $4 {(\frac{1}{2})}^{k}$ .

$a = 4 {(\frac{1}{2})}^{0}$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$a = 4 \frac{1^{0}}{2^{0}}$

Bước 3.2.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$a = 4 \frac{1}{2^{0}}$

Bước 3.2.3

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$a = 4 (\frac{1}{1})$

Bước 3.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$a = 4 (\frac{1}{1})$

Bước 3.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$a = 4 \cdot 1$

Bước 3.2.5

Nhân $4$ với $1$ .

$a = 4$

Bước 4

Thế giá trị của công bội, số hạng đầu, và số các số hạng vào công thức tính tổng.

$4 \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{11}}{1 - \frac{1}{2}}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Nhân $\frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{11}}{1 - \frac{1}{2}}$ với $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{2}{2} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{11}}{1 - \frac{1}{2}})$

Bước 5.1.2

Kết hợp.

$4 \frac{2 (1 - {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 (1 - \frac{1}{2})}$

Bước 5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 + 2 (- \frac{1}{2})}$

Bước 5.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{2}$ vào tử số.

$4 \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

Bước 5.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

Bước 5.3.3

Viết lại biểu thức.

$4 \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Nhân $2$ với $1$ .

$4 \frac{2 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$4 \frac{2 + 2 (- \frac{1^{11}}{2^{11}})}{2 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1^{11}}{2^{11}}$ vào tử số.

$4 \frac{2 + 2 \frac{- 1^{11}}{2^{11}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $2^{11}$ .

$4 \frac{2 + 2 \frac{- 1^{11}}{2 \cdot 2^{10}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \frac{2 + 2 \frac{- 1^{11}}{2 \cdot 2^{10}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.3.4

Viết lại biểu thức.

$4 \frac{2 + \frac{- 1^{11}}{2^{10}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$4 \frac{2 + \frac{- 1 \cdot 1}{2^{10}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.5

Nâng $2$ lên lũy thừa $10$ .

$4 \frac{2 + \frac{- 1 \cdot 1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$4 \frac{2 + \frac{- 1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$4 \frac{2 - \frac{1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.8

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{1024}{1024}$ .

$4 \frac{2 \cdot \frac{1024}{1024} - \frac{1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.9

Kết hợp $2$ và $\frac{1024}{1024}$ .

$4 \frac{\frac{2 \cdot 1024}{1024} - \frac{1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 \frac{\frac{2 \cdot 1024 - 1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.11.1

Nhân $2$ với $1024$ .

$4 \frac{\frac{2048 - 1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.11.2

Trừ $1$ khỏi $2048$ .

$4 \frac{\frac{2047}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Nhân $2$ với $1$ .

$4 \frac{\frac{2047}{1024}}{2 - 1}$

Bước 5.5.2

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$4 \frac{\frac{2047}{1024}}{1}$

Bước 5.6

Chia $\frac{2047}{1024}$ cho $1$ .

$4 (\frac{2047}{1024})$

Bước 5.7

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1

Đưa $4$ ra ngoài $1024$ .

$4 \frac{2047}{4 (256)}$

Bước 5.7.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \frac{2047}{4 \cdot 256}$

Bước 5.7.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2047}{256}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{2047}{256}$

Dạng thập phân:

$7.99609375$

Dạng hỗn số:

$7 \frac{255}{256}$