Giải tích Ví dụ

$\sum_{i = 1}^{22} i {(i - 1)}^{2}$

Bước 1

Rút gọn tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại ${(i - 1)}^{2}$ ở dạng $(i - 1) (i - 1)$ .

$i ((i - 1) (i - 1))$

Bước 1.2

Khai triển $(i - 1) (i - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$i (i (i - 1) - 1 (i - 1))$

Bước 1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$i (i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 (i - 1))$

Bước 1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$i (i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1)$

Bước 1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Nhân $i$ với $i$ .

$i (i^{2} + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1)$

Bước 1.3.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $i$ .

$i (i^{2} - 1 \cdot i - 1 i - 1 \cdot - 1)$

Bước 1.3.1.3

Viết lại $- 1 i$ ở dạng $- i$ .

$i (i^{2} - i - 1 i - 1 \cdot - 1)$

Bước 1.3.1.4

Viết lại $- 1 i$ ở dạng $- i$ .

$i (i^{2} - i - i - 1 \cdot - 1)$

Bước 1.3.1.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$i (i^{2} - i - i + 1)$

Bước 1.3.2

Trừ $i$ khỏi $- i$ .

$i (i^{2} - 2 i + 1)$

Bước 1.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$i \cdot i^{2} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nhân $i$ với $i^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Nhân $i$ với $i^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1.1

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$i^{1} i^{2} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

Bước 1.5.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$i^{1 + 2} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

Bước 1.5.1.2

Cộng $1$ và $2$ .

$i^{3} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

Bước 1.5.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$i^{3} - 2 i \cdot i + i \cdot 1$

Bước 1.5.3

Nhân $i$ với $1$ .

$i^{3} - 2 i \cdot i + i$

Bước 1.6

Nhân $i$ với $i$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Di chuyển $i$ .

$i^{3} - 2 (i \cdot i) + i$

Bước 1.6.2

Nhân $i$ với $i$ .

$i^{3} - 2 i^{2} + i$

Bước 1.7

Viết lại tổng.

$\sum_{i = 1}^{22} i^{3} - 2 i^{2} + i$

Bước 2

Tách tổng thành các tổng nhỏ hơn phù hợp với quy tắc tổng.

$\sum_{i = 1}^{22} i^{3} - 2 i^{2} + i = \sum_{i = 1}^{22} i^{3} - 2 \sum_{i = 1}^{22} i^{2} + \sum_{i = 1}^{22} i$

Bước 3

Tính $\sum_{i = 1}^{22} i^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $3$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

Bước 3.2

Thay các giá trị vào công thức.

$\frac{22^{2} {(22 + 1)}^{2}}{4}$

Bước 3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Cộng $22$ và $1$ .

$\frac{22^{2} \cdot 23^{2}}{4}$

Bước 3.3.1.2

Nâng $22$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{484 \cdot 23^{2}}{4}$

Bước 3.3.1.3

Nâng $23$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{484 \cdot 529}{4}$

Bước 3.3.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Nhân $484$ với $529$ .

$\frac{256036}{4}$

Bước 3.3.2.2

Chia $256036$ cho $4$ .

$64009$

Bước 4

Tính $2 \sum_{i = 1}^{22} i^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $2$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Bước 4.2

Thay các giá trị vào công thức và hãy chắc chắn rằng chúng được nhân với số hạng phía trước.

$(- 2) (\frac{22 (22 + 1) (2 \cdot 22 + 1)}{6})$

Bước 4.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Cộng $22$ và $1$ .

$- 2 \frac{22 \cdot 23 (2 \cdot 22 + 1)}{6}$

Bước 4.3.1.2

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.2.1

Nhân $22$ với $23$ .

$- 2 \frac{506 (2 \cdot 22 + 1)}{6}$

Bước 4.3.1.2.2

Nhân $2$ với $22$ .

$- 2 \frac{506 (44 + 1)}{6}$

Bước 4.3.1.3

Cộng $44$ và $1$ .

$- 2 \frac{506 \cdot 45}{6}$

Bước 4.3.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Nhân $506$ với $45$ .

$- 2 (\frac{22770}{6})$

Bước 4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{22770}{6}$

Bước 4.3.2.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$2 \cdot - 1 \frac{22770}{2 \cdot 3}$

Bước 4.3.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot - 1 \frac{22770}{2 \cdot 3}$

Bước 4.3.2.2.4

Viết lại biểu thức.

$- 1 (\frac{22770}{3})$

Bước 4.3.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.3.1

Chia $22770$ cho $3$ .

$- 1 \cdot 7590$

Bước 4.3.2.3.2

Nhân $- 1$ với $7590$ .

$- 7590$

Bước 5

Tính $\sum_{i = 1}^{22} i$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $1$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Bước 5.2

Thay các giá trị vào công thức.

$\frac{22 (22 + 1)}{2}$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $22$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $22 (22 + 1)$ .

$\frac{2 (11 (22 + 1))}{2}$

Bước 5.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (11 (22 + 1))}{2 (1)}$

Bước 5.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (11 (22 + 1))}{2 \cdot 1}$

Bước 5.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{11 (22 + 1)}{1}$

Bước 5.3.1.2.4

Chia $11 (22 + 1)$ cho $1$ .

$11 (22 + 1)$

Bước 5.3.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Cộng $22$ và $1$ .

$11 \cdot 23$

Bước 5.3.2.2

Nhân $11$ với $23$ .

$253$

Bước 6

Cộng các kết quả của tổng.

$64009 - 7590 + 253$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Trừ $7590$ khỏi $64009$ .

$56419 + 253$

Bước 7.2

Cộng $56419$ và $253$ .

$56672$