Giải tích Ví dụ

$\sum_{k = 1}^{6} {(- 1)}^{k} \cdot 3^{k}$

Bước 1

Tổng của một chuỗi cấp số nhân hữu hạn có thể được xác định bằng cách dùng công thức $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ với $a$ là số hạng đầu tiên và $r$ là tỉ số giữa hai số hạng kề nhau.

Bước 2

Tìm tỉ số giữa các số hạng liền kề bằng cách thế vào công thức $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay $a_{k}$ và $a_{k + 1}$ vào công thức cho $r$ .

$r = \frac{{(- 1)}^{k + 1} \cdot 3^{k + 1}}{{(- 1)}^{k} \cdot 3^{k}}$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của ${(- 1)}^{k + 1}$ và ${(- 1)}^{k}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Đưa ${(- 1)}^{k}$ ra ngoài ${(- 1)}^{k + 1} \cdot 3^{k + 1}$ .

$r = \frac{{(- 1)}^{k} (- 3^{k + 1})}{{(- 1)}^{k} \cdot 3^{k}}$

Bước 2.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1

Đưa ${(- 1)}^{k}$ ra ngoài ${(- 1)}^{k} \cdot 3^{k}$ .

$r = \frac{{(- 1)}^{k} (- 3^{k + 1})}{{(- 1)}^{k} (3^{k})}$

Bước 2.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{{(- 1)}^{k} (- 3^{k + 1})}{{(- 1)}^{k} \cdot 3^{k}}$

Bước 2.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{- 3^{k + 1}}{3^{k}}$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $3^{k + 1}$ và $3^{k}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Đưa $3^{k}$ ra ngoài $- 3^{k + 1}$ .

$r = \frac{3^{k} (- 1 \cdot 3)}{3^{k}}$

Bước 2.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1

Nhân với $1$ .

$r = \frac{3^{k} (- 1 \cdot 3)}{3^{k} \cdot 1}$

Bước 2.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{3^{k} (- 1 \cdot 3)}{3^{k} \cdot 1}$

Bước 2.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{- 1 \cdot 3}{1}$

Bước 2.2.2.2.4

Chia $- 1 \cdot 3$ cho $1$ .

$r = - 1 \cdot 3$

Bước 2.2.3

Nhân $- 1$ với $3$ .

$r = - 3$

Bước 3

Tìm số hạng đầu tiên trong chuỗi bằng cách thay biên dưới vào và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay $1$ cho $k$ vào ${(- 1)}^{k} \cdot 3^{k}$ .

$a = {(- 1)}^{1} \cdot 3^{1}$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tính số mũ.

$a = - 1 \cdot 3^{1}$

Bước 3.2.2

Tính số mũ.

$a = - 1 \cdot 3$

Bước 3.2.3

Nhân $- 1$ với $3$ .

$a = - 3$

Bước 4

Thế giá trị của công bội, số hạng đầu, và số các số hạng vào công thức tính tổng.

$- 3 \frac{1 - {(- 3)}^{6}}{1 - - 3}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $6$ .

$- 3 \frac{1 - 1 \cdot 729}{1 - - 3}$

Bước 5.1.2

Nhân $- 1$ với $729$ .

$- 3 \frac{1 - 729}{1 - - 3}$

Bước 5.1.3

Trừ $729$ khỏi $1$ .

$- 3 \frac{- 728}{1 - - 3}$

Bước 5.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$- 3 \frac{- 728}{1 + 3}$

Bước 5.2.2

Cộng $1$ và $3$ .

$- 3 (\frac{- 728}{4})$

Bước 5.3

Chia $- 728$ cho $4$ .

$- 3 \cdot - 182$

Bước 5.4

Nhân $- 3$ với $- 182$ .

$546$