Giải tích Ví dụ

$\sum_{j = 2}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$

Bước 1

Tách tổng để làm cho giá trị bắt đầu của $j$ bằng $1$ .

$\sum_{j = 2}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3} = \sum_{j = 1}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3} - \sum_{j = 1}^{1} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$

Bước 2

Tính $\sum_{j = 1}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tách tổng thành các tổng nhỏ hơn phù hợp với quy tắc tổng.

$\sum_{j = 1}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3} = 6 \sum_{j = 1}^{30} j + \sum_{j = 1}^{30} - \frac{4 j^{2}}{3}$

Bước 2.2

Tính $6 \sum_{j = 1}^{30} j$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $1$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Bước 2.2.2

Thay các giá trị vào công thức và hãy chắc chắn rằng chúng được nhân với số hạng phía trước.

$(6) (\frac{30 (30 + 1)}{2})$

Bước 2.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1.1

Cộng $30$ và $1$ .

$6 \frac{30 \cdot 31}{2}$

Bước 2.2.3.1.2

Nhân $30$ với $31$ .

$6 (\frac{930}{2})$

Bước 2.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$2 (3) \frac{930}{2}$

Bước 2.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot 3 \frac{930}{2}$

Bước 2.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$3 \cdot 930$

Bước 2.2.3.3

Nhân $3$ với $930$ .

$2790$

Bước 2.3

Tính $\sum_{j = 1}^{30} - \frac{4 j^{2}}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Đưa $- \frac{4}{3}$ ra ngoài tổng.

$(- \frac{4}{3}) \sum_{j = 1}^{30} j^{2}$

Bước 2.3.2

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $2$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Bước 2.3.3

Thay các giá trị vào công thức và hãy chắc chắn rằng chúng được nhân với số hạng phía trước.

$(- \frac{4}{3}) (\frac{30 (30 + 1) (2 \cdot 30 + 1)}{6})$

Bước 2.3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1.1

Cộng $30$ và $1$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{30 \cdot 31 (2 \cdot 30 + 1)}{6}$

Bước 2.3.4.1.2

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1.2.1

Nhân $30$ với $31$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{930 (2 \cdot 30 + 1)}{6}$

Bước 2.3.4.1.2.2

Nhân $2$ với $30$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{930 (60 + 1)}{6}$

Bước 2.3.4.1.3

Cộng $60$ và $1$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{930 \cdot 61}{6}$

Bước 2.3.4.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.2.1

Nhân $930$ với $61$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{56730}{6}$

Bước 2.3.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.2.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{4}{3}$ vào tử số.

$\frac{- 4}{3} \cdot \frac{56730}{6}$

Bước 2.3.4.2.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$\frac{2 (- 2)}{3} \cdot \frac{56730}{6}$

Bước 2.3.4.2.2.3

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{3} \cdot \frac{56730}{2 \cdot 3}$

Bước 2.3.4.2.2.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot - 2}{3} \cdot \frac{56730}{2 \cdot 3}$

Bước 2.3.4.2.2.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{56730}{3}$

Bước 2.3.4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.2.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $56730$ .

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{3 (18910)}{3}$

Bước 2.3.4.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{3 \cdot 18910}{3}$

Bước 2.3.4.2.3.3

Viết lại biểu thức.

$- 2 (\frac{18910}{3})$

Bước 2.3.4.2.4

Kết hợp $- 2$ và $\frac{18910}{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot 18910}{3}$

Bước 2.3.4.2.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.2.5.1

Nhân $- 2$ với $18910$ .

$\frac{- 37820}{3}$

Bước 2.3.4.2.5.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{37820}{3}$

Bước 2.4

Cộng các kết quả của tổng.

$2790 - \frac{37820}{3}$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Để viết $2790$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$2790 \cdot \frac{3}{3} - \frac{37820}{3}$

Bước 2.5.2

Kết hợp $2790$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2790 \cdot 3}{3} - \frac{37820}{3}$

Bước 2.5.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2790 \cdot 3 - 37820}{3}$

Bước 2.5.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.1

Nhân $2790$ với $3$ .

$\frac{8370 - 37820}{3}$

Bước 2.5.4.2

Trừ $37820$ khỏi $8370$ .

$\frac{- 29450}{3}$

Bước 2.5.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{29450}{3}$

Bước 3

Tính $\sum_{j = 1}^{1} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Khai triển chuỗi số cho mỗi giá trị của $j$ .

$6 \cdot 1 - \frac{4 \cdot 1^{2}}{3}$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Nhân $6$ với $1$ .

$6 - \frac{4 \cdot 1^{2}}{3}$

Bước 3.2.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$6 - \frac{4 \cdot 1}{3}$

Bước 3.2.1.3

Nhân $4$ với $1$ .

$6 - \frac{4}{3}$

Bước 3.2.2

Để viết $6$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$6 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Bước 3.2.3

Kết hợp $6$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

Bước 3.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{6 \cdot 3 - 4}{3}$

Bước 3.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Nhân $6$ với $3$ .

$\frac{18 - 4}{3}$

Bước 3.2.5.2

Trừ $4$ khỏi $18$ .

$\frac{14}{3}$

Bước 4

Thay thế các phép tổng bằng các giá trị tìm được.

$- \frac{29450}{3} - \frac{14}{3}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 29450 - 14}{3}$

Bước 5.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Trừ $14$ khỏi $- 29450$ .

$\frac{- 29464}{3}$

Bước 5.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{29464}{3}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{29464}{3}$

Dạng thập phân:

$- 9821.\overline{3}$

Dạng hỗn số:

$- 9821 \frac{1}{3}$