Giải tích Ví dụ

${(2 x + 3)}^{4}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = 2 x + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Bước 1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x + 3$ .

$4 {(2 x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$4 {(2 x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Bước 1.2.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(2 x + 3)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Bước 1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 {(2 x + 3)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Bước 1.2.4

Nhân $2$ với $1$ .

$4 {(2 x + 3)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} [3])$

Bước 1.2.5

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$4 {(2 x + 3)}^{3} (2 + 0)$

Bước 1.2.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Cộng $2$ và $0$ .

$4 {(2 x + 3)}^{3} \cdot 2$

Bước 1.2.6.2

Nhân $2$ với $4$ .

$f' (x) = 8 {(2 x + 3)}^{3}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 {(2 x + 3)}^{3}$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{3}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{3}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = 2 x + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x + 3$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$8 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x + 3$ .

$8 (3 {(2 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân $3$ với $8$ .

$24 ({(2 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$24 {(2 x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Bước 2.3.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 {(2 x + 3)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$24 {(2 x + 3)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Bước 2.3.5

Nhân $2$ với $1$ .

$24 {(2 x + 3)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [3])$

Bước 2.3.6

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$24 {(2 x + 3)}^{2} (2 + 0)$

Bước 2.3.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Cộng $2$ và $0$ .

$24 {(2 x + 3)}^{2} \cdot 2$

Bước 2.3.7.2

Nhân $2$ với $24$ .

$f'' (x) = 48 {(2 x + 3)}^{2}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại ${(2 x + 3)}^{2}$ ở dạng $(2 x + 3) (2 x + 3)$ .

$\frac{d}{d x} [48 ((2 x + 3) (2 x + 3))]$

Bước 3.2

Khai triển $(2 x + 3) (2 x + 3)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d}{d x} [48 (2 x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3))]$

Bước 3.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d}{d x} [48 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x + 3))]$

Bước 3.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d}{d x} [48 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)]$

Bước 3.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{d}{d x} [48 (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)]$

Bước 3.3.1.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.2.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{d}{d x} [48 (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)]$

Bước 3.3.1.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{d}{d x} [48 (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)]$

Bước 3.3.1.3

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{d}{d x} [48 (4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)]$

Bước 3.3.1.4

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{d}{d x} [48 (4 x^{2} + 6 x + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)]$

Bước 3.3.1.5

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{d}{d x} [48 (4 x^{2} + 6 x + 6 x + 3 \cdot 3)]$

Bước 3.3.1.6

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{d}{d x} [48 (4 x^{2} + 6 x + 6 x + 9)]$

Bước 3.3.2

Cộng $6 x$ và $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [48 (4 x^{2} + 12 x + 9)]$

Bước 3.4

Vì $48$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $48 (4 x^{2} + 12 x + 9)$ đối với $x$ là $48 \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 12 x + 9]$ .

$48 \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 12 x + 9]$

Bước 3.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x^{2} + 12 x + 9$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$48 (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Bước 3.6

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{2}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$48 (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Bước 3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$48 (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Bước 3.8

Nhân $2$ với $4$ .

$48 (8 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Bước 3.9

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $12 x$ đối với $x$ là $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$48 (8 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Bước 3.10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$48 (8 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Bước 3.11

Nhân $12$ với $1$ .

$48 (8 x + 12 + \frac{d}{d x} [9])$

Bước 3.12

Vì $9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $9$ đối với $x$ là $0$ .

$48 (8 x + 12 + 0)$

Bước 3.13

Cộng $8 x + 12$ và $0$ .

$48 (8 x + 12)$

Bước 3.14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.14.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$48 (8 x) + 48 \cdot 12$

Bước 3.14.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.14.2.1

Nhân $8$ với $48$ .

$384 x + 48 \cdot 12$

Bước 3.14.2.2

Nhân $48$ với $12$ .

$f''' (x) = 384 x + 576$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc 4.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $384 x + 576$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [384 x] + \frac{d}{d x} [576]$ .

$\frac{d}{d x} [384 x] + \frac{d}{d x} [576]$

Bước 4.2

Tính $\frac{d}{d x} [384 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Vì $384$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $384 x$ đối với $x$ là $384 \frac{d}{d x} [x]$ .

$384 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [576]$

Bước 4.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$384 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [576]$

Bước 4.2.3

Nhân $384$ với $1$ .

$384 + \frac{d}{d x} [576]$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $576$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $576$ đối với $x$ là $0$ .

$384 + 0$

Bước 4.3.2

Cộng $384$ và $0$ .

$f^{4} (x) = 384$