Giải tích Ví dụ

$(x^{2} + y^{2}) \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2} + y^{2}$ và $g (x) = \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}})$ .

$(x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}})] + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = \frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ .

$(x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\sin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\cos (u_{1})$ .

$(x^{2} + y^{2}) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ .

$(x^{2} + y^{2}) (\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 3

Viết lại $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ ở dạng ${(x^{2} + y^{2})}^{- 1}$ .

$(x^{2} + y^{2}) \cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{- 1}] + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x^{2} + y^{2}$ .

$(x^{2} + y^{2}) \cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$(x^{2} + y^{2}) \cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x^{2} + y^{2}$ .

$(x^{2} + y^{2}) \cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 5

Nâng $x^{2} + y^{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- ({(x^{2} + y^{2})}^{1} {(x^{2} + y^{2})}^{- 2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- {(x^{2} + y^{2})}^{1 - 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 7

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + y^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 10

Vì $y^{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $y^{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} (2 x + 0)) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 11

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} (2 x)) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 11.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- 2 {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} x) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 12

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + y^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- 2 {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} x) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Bước 13

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- 2 {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} x) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Bước 14

Vì $y^{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $y^{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- 2 {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} x) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x + 0)$

Bước 15

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- 2 {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} x) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)$

Bước 16

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- 2 \frac{1}{x^{2} + y^{2}} x) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)$

Bước 17

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (\frac{- 2}{x^{2} + y^{2}} x) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)$

Bước 17.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- \frac{2}{x^{2} + y^{2}} x) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)$

Bước 17.1.3

Kết hợp $x$ và $\frac{2}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- \frac{x \cdot 2}{x^{2} + y^{2}}) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)$

Bước 17.1.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- \frac{2 \cdot x}{x^{2} + y^{2}}) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)$

Bước 17.1.5

Kết hợp $\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}})$ và $\frac{2 x}{x^{2} + y^{2}}$ .

$- \frac{\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)}{x^{2} + y^{2}} + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)$

Bước 17.1.6

Để viết $\sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$- \frac{\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)}{x^{2} + y^{2}} + \frac{\sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x) (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}}$

Bước 17.1.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- \cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x) (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}}$

Bước 17.1.8

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{- 2 \cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) x + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x) (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}}$

Bước 17.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- 2 x \cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) + 2 x \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}}$