Giải tích Ví dụ

$\frac{\tan (x) - 1}{\sec (x)}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \tan (x) - 1$ và $g (x) = \sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x) - 1] - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Bước 2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\tan (x) - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\sec (x) (\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Bước 3

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) + 0) - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Bước 4.2

Cộng $\sec^{2} (x)$ và $0$ .

$\frac{\sec (x) \sec^{2} (x) - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Bước 5

Nhân $\sec (x)$ với $\sec^{2} (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $\sec (x)$ với $\sec^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sec^{1} (x) \sec^{2} (x) - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Bước 5.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{{\sec (x)}^{1 + 2} - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Bước 5.2

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{\sec^{3} (x) - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Bước 6

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec^{3} (x) - (\tan (x) - 1) (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Bước 7

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $\sec^{3} (x) - (\tan (x) - 1) \sec (x) \tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $\sec^{3} (x)$ .

$\frac{\sec (x) \sec^{2} (x) - (\tan (x) - 1) \sec (x) \tan (x)}{\sec^{2} (x)}$

Bước 7.2

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $- (\tan (x) - 1) \sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) \sec^{2} (x) + \sec (x) (- (\tan (x) - 1) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Bước 7.3

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $\sec (x) \sec^{2} (x) + \sec (x) (- (\tan (x) - 1) \tan (x))$ .

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) - (\tan (x) - 1) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Bước 8

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) - (\tan (x) - 1) \tan (x))}{\sec (x) \sec (x)}$

Bước 8.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) - (\tan (x) - 1) \tan (x))}{\sec (x) \sec (x)}$

Bước 8.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sec^{2} (x) - (\tan (x) - 1) \tan (x)}{\sec (x)}$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sec^{2} (x) + (- \tan (x) - - 1) \tan (x)}{\sec (x)}$

Bước 9.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sec^{2} (x) - \tan (x) \tan (x) - - 1 \tan (x)}{\sec (x)}$

Bước 9.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1.1

Nhân $- \tan (x) \tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1.1.1

Nâng $\tan (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x)) - - 1 \tan (x)}{\sec (x)}$

Bước 9.3.1.1.2

Nâng $\tan (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) - - 1 \tan (x)}{\sec (x)}$

Bước 9.3.1.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sec^{2} (x) - {\tan (x)}^{1 + 1} - - 1 \tan (x)}{\sec (x)}$

Bước 9.3.1.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) - - 1 \tan (x)}{\sec (x)}$

Bước 9.3.1.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) + 1 \tan (x)}{\sec (x)}$

Bước 9.3.1.3

Nhân $\tan (x)$ với $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) + \tan (x)}{\sec (x)}$

Bước 9.3.2

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{1 + \tan (x)}{\sec (x)}$