Giải tích Ví dụ

$\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x)$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = \sec (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\sec (x)$ .

$4 \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$4 \sec^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$

Bước 2.3

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$4 (\sec^{1} (x) \sec^{3} (x)) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$

Bước 2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 {\sec (x)}^{1 + 3} \tan (x) + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$

Bước 2.5

Cộng $1$ và $3$ .

$4 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \tan^{4} (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\tan^{4} (x)]$ .

$4 \sec^{4} (x) \tan (x) - \frac{d}{d x} [\tan^{4} (x)]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = \tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\tan (x)$ .

$4 \sec^{4} (x) \tan (x) - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 \sec^{4} (x) \tan (x) - (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\tan (x)$ .

$4 \sec^{4} (x) \tan (x) - (4 \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Bước 3.3

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$4 \sec^{4} (x) \tan (x) - (4 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x))$

Bước 3.4

Nhân $4$ với $- 1$ .

$4 \sec^{4} (x) \tan (x) - 4 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đưa $4 \sec^{2} (x) \tan (x)$ ra ngoài $4 \sec^{4} (x) \tan (x) - 4 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Đưa $4 \sec^{2} (x) \tan (x)$ ra ngoài $4 \sec^{4} (x) \tan (x)$ .

$4 \sec^{2} (x) \tan (x) (\sec^{2} (x)) - 4 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)$

Bước 4.1.2

Đưa $4 \sec^{2} (x) \tan (x)$ ra ngoài $- 4 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)$ .

$4 \sec^{2} (x) \tan (x) (\sec^{2} (x)) + 4 \sec^{2} (x) \tan (x) (- \tan^{2} (x))$

Bước 4.1.3

Đưa $4 \sec^{2} (x) \tan (x)$ ra ngoài $4 \sec^{2} (x) \tan (x) (\sec^{2} (x)) + 4 \sec^{2} (x) \tan (x) (- \tan^{2} (x))$ .

$4 \sec^{2} (x) \tan (x) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Bước 4.2

Áp dụng đẳng thức pytago.

$4 \sec^{2} (x) \tan (x) \cdot 1$

Bước 4.3

Nhân $4$ với $1$ .

$4 \sec^{2} (x) \tan (x)$