Giải tích Ví dụ

$y = \sin (\sqrt{1 + x^{2}})$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{1 + x^{2}}$ ở dạng ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \sin ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}))$

Bước 3

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 4

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.1.2

Đạo hàm của $\sin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 1 + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $1 + x^{2}$ .

$\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Bước 4.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Bước 4.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $1 + x^{2}$ .

$\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Bước 4.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Bước 4.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Bước 4.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Bước 4.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Bước 4.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Bước 4.7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Bước 4.7.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Bước 4.7.3

Di chuyển ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Bước 4.7.4

Kết hợp $\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ và $\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Bước 4.8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4.9

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4.10

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Bước 4.12

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.12.1

Kết hợp $2$ và $\frac{\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Bước 4.12.2

Kết hợp $\frac{2 \cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ và $x$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.12.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.12.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.13.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) x$ .

$\frac{x \cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.13.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{x \cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{x \cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$