Giải tích Ví dụ

$y = \ln (7 x^{3} - x^{2})$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (7 x^{3} - x^{2}))$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 7 x^{3} - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $7 x^{3} - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [7 x^{3} - x^{2}]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [7 x^{3} - x^{2}]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $7 x^{3} - x^{2}$ .

$\frac{1}{7 x^{3} - x^{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{3} - x^{2}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $7 x^{3} - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{7 x^{3} - x^{2}} (\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Bước 3.2.2

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x^{3}$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{7 x^{3} - x^{2}} (7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Bước 3.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{1}{7 x^{3} - x^{2}} (7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Bước 3.2.4

Nhân $3$ với $7$ .

$\frac{1}{7 x^{3} - x^{2}} (21 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Bước 3.2.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{7 x^{3} - x^{2}} (21 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 3.2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{7 x^{3} - x^{2}} (21 x^{2} - (2 x))$

Bước 3.2.7

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{7 x^{3} - x^{2}} (21 x^{2} - 2 x)$

Bước 3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{7 x^{3} - x^{2}} (21 x^{2} - 2 x)$ .

$(21 x^{2} - 2 x) \frac{1}{7 x^{3} - x^{2}}$

Bước 3.3.2

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $7 x^{3} - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $7 x^{3}$ .

$(21 x^{2} - 2 x) \frac{1}{x^{2} (7 x) - x^{2}}$

Bước 3.3.2.2

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $- x^{2}$ .

$(21 x^{2} - 2 x) \frac{1}{x^{2} (7 x) + x^{2} \cdot - 1}$

Bước 3.3.2.3

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} (7 x) + x^{2} \cdot - 1$ .

$(21 x^{2} - 2 x) \frac{1}{x^{2} (7 x - 1)}$

Bước 3.3.3

Nhân $21 x^{2} - 2 x$ với $\frac{1}{x^{2} (7 x - 1)}$ .

$\frac{21 x^{2} - 2 x}{x^{2} (7 x - 1)}$

Bước 3.3.4

Đưa $x$ ra ngoài $21 x^{2} - 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.1

Đưa $x$ ra ngoài $21 x^{2}$ .

$\frac{x (21 x) - 2 x}{x^{2} (7 x - 1)}$

Bước 3.3.4.2

Đưa $x$ ra ngoài $- 2 x$ .

$\frac{x (21 x) + x \cdot - 2}{x^{2} (7 x - 1)}$

Bước 3.3.4.3

Đưa $x$ ra ngoài $x (21 x) + x \cdot - 2$ .

$\frac{x (21 x - 2)}{x^{2} (7 x - 1)}$

Bước 3.3.5

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2} (7 x - 1)$ .

$\frac{x (21 x - 2)}{x (x (7 x - 1))}$

Bước 3.3.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x (21 x - 2)}{x (x (7 x - 1))}$

Bước 3.3.5.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{21 x - 2}{x (7 x - 1)}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{21 x - 2}{x (7 x - 1)}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{21 x - 2}{x (7 x - 1)}$