Giải tích Ví dụ

$y z = \ln (x + z)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y z) = \frac{d}{d x} (\ln (x + z))$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $z$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $y z$ đối với $x$ là $z \frac{d}{d x} [y]$ .

$z \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$z y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x + z$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + z$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + z]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + z]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + z$ .

$\frac{1}{x + z} \frac{d}{d x} [x + z]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + z$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [z]$ .

$\frac{1}{x + z} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [z])$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{x + z} (1 + \frac{d}{d x} [z])$

Bước 3.2.3

Vì $z$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $z$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{x + z} (1 + 0)$

Bước 3.2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{1}{x + z} \cdot 1$

Bước 3.2.4.2

Nhân $\frac{1}{x + z}$ với $1$ .

$\frac{1}{x + z}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$z y' = \frac{1}{x + z}$

Bước 5

Chia mỗi số hạng trong $z y' = \frac{1}{x + z}$ cho $z$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia mỗi số hạng trong $z y' = \frac{1}{x + z}$ cho $z$ .

$\frac{z y'}{z} = \frac{\frac{1}{x + z}}{z}$

Bước 5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $z$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{z y'}{z} = \frac{\frac{1}{x + z}}{z}$

Bước 5.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{\frac{1}{x + z}}{z}$

Bước 5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y' = \frac{1}{x + z} \cdot \frac{1}{z}$

Bước 5.3.2

Nhân $\frac{1}{x + z}$ với $\frac{1}{z}$ .

$y' = \frac{1}{(x + z) z}$

Bước 5.3.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{1}{(x + z) z}$ .

$y' = \frac{1}{z (x + z)}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{z (x + z)}$