Giải tích Ví dụ

$y = \ln (\sqrt{x^{2} + 4})$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{2} + 4}$ ở dạng ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \ln ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}))$

Bước 3

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 4

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.1.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = x^{2} + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x^{2} + 4$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

Bước 4.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

Bước 4.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x^{2} + 4$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

Bước 4.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

Bước 4.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

Bước 4.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

Bước 4.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

Bước 4.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

Bước 4.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

Bước 4.8

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

Bước 4.9

Di chuyển ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

Bước 4.10

Nhân $\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ với $\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Bước 4.11

Nhân ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ với ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.11.1

Di chuyển ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Bước 4.11.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Bước 4.11.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Bước 4.11.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Bước 4.11.5

Chia $2$ cho $2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Bước 4.12

Rút gọn $2 {(x^{2} + 4)}^{1}$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} + 4)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Bước 4.13

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} + 4)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

Bước 4.14

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} + 4)} (2 x + \frac{d}{d x} [4])$

Bước 4.15

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} + 4)} (2 x + 0)$

Bước 4.16

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.16.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} + 4)} (2 x)$

Bước 4.16.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2 (x^{2} + 4)}$ .

$\frac{2}{2 (x^{2} + 4)} x$

Bước 4.16.3

Kết hợp $\frac{2}{2 (x^{2} + 4)}$ và $x$ .

$\frac{2 x}{2 (x^{2} + 4)}$

Bước 4.16.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.16.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2 (x^{2} + 4)}$

Bước 4.16.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x}{x^{2} + 4}$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{x}{x^{2} + 4}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$