Giải tích Ví dụ

$y = {\sin (x)}^{\cos (x)}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({\sin (x)}^{\cos (x)})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Viết lại ${\sin (x)}^{\cos (x)}$ ở dạng $e^{\ln ({\sin (x)}^{\cos (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\sin (x)}^{\cos (x)})}]$

Bước 3.1.2

Khai triển $\ln ({\sin (x)}^{\cos (x)})$ bằng cách di chuyển $\cos (x)$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{d}{d x} [e^{\cos (x) \ln (\sin (x))}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = \cos (x) \ln (\sin (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\cos (x) \ln (\sin (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (\sin (x))]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (\sin (x))]$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\cos (x) \ln (\sin (x))$ .

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (\sin (x))]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = \ln (\sin (x))$ .

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\sin (x)$ .

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 3.4.2

Đạo hàm của $\ln (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 3.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\sin (x)$ .

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos (x) (\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 3.5

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (x)}$ sang $\csc (x)$ .

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos (x) (\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 3.6

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos (x) \csc (x) \cos (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 3.7

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos^{1} (x) \cos (x) \csc (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 3.8

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) \csc (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 3.9

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} ({\cos (x)}^{1 + 1} \csc (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 3.10

Cộng $1$ và $1$ .

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos^{2} (x) \csc (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 3.11

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos^{2} (x) \csc (x) + \ln (\sin (x)) (- \sin (x)))$

Bước 3.12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos^{2} (x) \csc (x)) + e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\ln (\sin (x)) (- \sin (x)))$

Bước 3.12.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} \cos^{2} (x) \csc (x) + e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x)) (- \sin (x))$

Bước 3.12.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} \cos^{2} (x) \csc (x) - e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} \sin (x) \ln (\sin (x))$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} \cos^{2} (x) \csc (x) - e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} \sin (x) \ln (\sin (x))$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} \cos^{2} (x) \csc (x) - e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} \sin (x) \ln (\sin (x))$