Giải tích Ví dụ

$y = \ln (1 + e^{2 x})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 1 + e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $1 + e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $1 + e^{2 x}$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x}} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + e^{2 x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Bước 2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x}} (0 + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Bước 2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x}} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x}} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $e^{2 x}$ và $\frac{1}{1 + e^{2 x}}$ .

$\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 4.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.3

Kết hợp $2$ và $\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{1 + e^{2 x}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{1 + e^{2 x}} \cdot 1$

Bước 4.5

Nhân $\frac{2 e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$ với $1$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$