Giải tích Ví dụ

$y = x^{2} \arcsin (e^{x})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \arcsin (e^{x})$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\arcsin (e^{x})] + \arcsin (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \arcsin (x)$ và $g (x) = e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $e^{x}$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \arcsin (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\arcsin (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$x^{2} (\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \arcsin (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $e^{x}$ .

$x^{2} (\frac{1}{\sqrt{1 - {(e^{x})}^{2}}} \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \arcsin (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân các số mũ trong ${(e^{x})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} (\frac{1}{\sqrt{1 - e^{x \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \arcsin (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.1.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$x^{2} (\frac{1}{\sqrt{1 - e^{2 x}}} \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \arcsin (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.2

Kết hợp $\frac{1}{\sqrt{1 - e^{2 x}}}$ và $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{\sqrt{1 - e^{2 x}}} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \arcsin (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{x^{2}}{\sqrt{1 - e^{2 x}}} e^{x} + \arcsin (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{x^{2}}{\sqrt{1 - e^{2 x}}}$ và $e^{x}$ .

$\frac{x^{2} e^{x}}{\sqrt{1 - e^{2 x}}} + \arcsin (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{x^{2} e^{x}}{\sqrt{1 - e^{2 x}}} + \arcsin (e^{x}) (2 x)$

Bước 5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{x^{2} e^{x}}{\sqrt{1 - e^{2 x}}} + 2 x \arcsin (e^{x})$