Giải tích Ví dụ

$y = \ln (9 x^{2} + 5 y^{2})$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (9 x^{2} + 5 y^{2}))$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 9 x^{2} + 5 y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $9 x^{2} + 5 y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 5 y^{2}]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 5 y^{2}]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $9 x^{2} + 5 y^{2}$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 5 y^{2}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $9 x^{2} + 5 y^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

Bước 3.2.2

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $9 x^{2}$ đối với $x$ là $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

Bước 3.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

Bước 3.2.4

Nhân $2$ với $9$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

Bước 3.2.5

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 y^{2}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 5 \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $y$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 5 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]))$

Bước 3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $y$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 5 (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Bước 3.4

Nhân $2$ với $5$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 10 (y \frac{d}{d x} [y]))$

Bước 3.5

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 10 y y')$

Bước 3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 10 y y')$ .

$(18 x + 10 y y') \frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$

Bước 3.6.2

Nhân $18 x + 10 y y'$ với $\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$ .

$\frac{18 x + 10 y y'}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$

Bước 3.6.3

Đưa $2$ ra ngoài $18 x + 10 y y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $18 x$ .

$\frac{2 (9 x) + 10 y y'}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$

Bước 3.6.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $10 y y'$ .

$\frac{2 (9 x) + 2 (5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$

Bước 3.6.3.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (9 x) + 2 (5 y y')$ .

$\frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân cả hai vế với $9 x^{2} + 5 y^{2}$ .

$y' (9 x^{2} + 5 y^{2}) = \frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 x^{2} + 5 y^{2})$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Rút gọn $y' (9 x^{2} + 5 y^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y' (9 x^{2}) + y' (5 y^{2}) = \frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 x^{2} + 5 y^{2})$

Bước 5.2.1.1.2

Sắp xếp lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$9 y' x^{2} + y' (5 y^{2}) = \frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 x^{2} + 5 y^{2})$

Bước 5.2.1.1.2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = \frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 x^{2} + 5 y^{2})$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Rút gọn $\frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 x^{2} + 5 y^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $9 x^{2} + 5 y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = \frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 x^{2} + 5 y^{2})$

Bước 5.2.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = 2 (9 x + 5 y y')$

Bước 5.2.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = 2 (9 x) + 2 (5 y y')$

Bước 5.2.2.1.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.3.1

Nhân $9$ với $2$ .

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = 18 x + 2 (5 y y')$

Bước 5.2.2.1.3.2

Nhân $5$ với $2$ .

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = 18 x + 10 (y y')$

Bước 5.2.2.1.3.3

Di chuyển $y$ .

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = 18 x + 10 y' y$

Bước 5.2.2.1.3.4

Sắp xếp lại $18 x$ và $10 y' y$ .

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = 10 y' y + 18 x$

Bước 5.3

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Trừ $10 y' y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} - 10 y' y = 18 x$

Bước 5.3.2

Đưa $y'$ ra ngoài $9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} - 10 y' y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Đưa $y'$ ra ngoài $9 y' x^{2}$ .

$y' (9 x^{2}) + 5 y' y^{2} - 10 y' y = 18 x$

Bước 5.3.2.2

Đưa $y'$ ra ngoài $5 y' y^{2}$ .

$y' (9 x^{2}) + y' (5 y^{2}) - 10 y' y = 18 x$

Bước 5.3.2.3

Đưa $y'$ ra ngoài $- 10 y' y$ .

$y' (9 x^{2}) + y' (5 y^{2}) + y' (- 10 y) = 18 x$

Bước 5.3.2.4

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (9 x^{2}) + y' (5 y^{2})$ .

$y' (9 x^{2} + 5 y^{2}) + y' (- 10 y) = 18 x$

Bước 5.3.2.5

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (9 x^{2} + 5 y^{2}) + y' (- 10 y)$ .

$y' (9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y) = 18 x$

Bước 5.3.3

Chia mỗi số hạng trong $y' (9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y) = 18 x$ cho $9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y) = 18 x$ cho $9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y$ .

$\frac{y' (9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y)}{9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y} = \frac{18 x}{9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y}$

Bước 5.3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y)}{9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y} = \frac{18 x}{9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y}$

Bước 5.3.3.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{18 x}{9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{18 x}{9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y}$