Giải tích Ví dụ

$y = \frac{x}{\sin (x) + \cos (x)}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{\sin (x) + \cos (x)})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 3.2.2

Nhân $\sin (x) + \cos (x)$ với $1$ .

$\frac{\sin (x) + \cos (x) - x \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 3.2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sin (x) + \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{\sin (x) + \cos (x) - x (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 3.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) + \cos (x) - x (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 3.4

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) + \cos (x) - x (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sin (x) + \cos (x) - x \cos (x) - x (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 3.5.2

Nhân $- x (- \sin (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{\sin (x) + \cos (x) - x \cos (x) + 1 x \sin (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 3.5.2.2

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{\sin (x) + \cos (x) - x \cos (x) + x \sin (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 3.5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- x \cos (x) + x \sin (x) + \sin (x) + \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 3.5.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x \cos (x)$ .

$\frac{- (x \cos (x)) + x \sin (x) + \sin (x) + \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 3.5.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $x \sin (x)$ .

$\frac{- (x \cos (x)) - (- x \sin (x)) + \sin (x) + \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 3.5.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x \cos (x)) - (- x \sin (x))$ .

$\frac{- (x \cos (x) - x \sin (x)) + \sin (x) + \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 3.5.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $\sin (x)$ .

$\frac{- (x \cos (x) - x \sin (x)) - 1 (- \sin (x)) + \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 3.5.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x \cos (x) - x \sin (x)) - 1 (- \sin (x))$ .

$\frac{- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x)) + \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 3.5.9

Đưa $- 1$ ra ngoài $\cos (x)$ .

$\frac{- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x)) - 1 (- \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 3.5.10

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x)) - 1 (- \cos (x))$ .

$\frac{- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 3.5.11

Viết lại $- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x))$ ở dạng $- 1 (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x))$ .

$\frac{- 1 (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 3.5.12

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = - \frac{x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$