Giải tích Ví dụ

$y = \log_{2} (4 x^{3})$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\log_{2} (4 x^{3}))$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \log_{2} (x)$ và $g (x) = 4 x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $4 x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{2} (u)] \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\log_{2} (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u \ln (2)}$ .

$\frac{1}{u \ln (2)} \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 x^{3}$ .

$\frac{1}{4 x^{3} \ln (2)} \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{3}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{4 x^{3} \ln (2)} (4 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Bước 3.2.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{4 x^{3} \ln (2)}$ .

$\frac{4}{4 x^{3} \ln (2)} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4}{4 x^{3} \ln (2)} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 3.2.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{x^{3} \ln (2)} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 3.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{1}{x^{3} \ln (2)} (3 x^{2})$

Bước 3.2.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{x^{3} \ln (2)}$ .

$\frac{3}{x^{3} \ln (2)} x^{2}$

Bước 3.2.4.2

Kết hợp $\frac{3}{x^{3} \ln (2)}$ và $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{x^{3} \ln (2)}$

Bước 3.2.4.3

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.3.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3} \ln (2)}$

Bước 3.2.4.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.3.2.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{3} \ln (2)$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (x \ln (2))}$

Bước 3.2.4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (x \ln (2))}$

Bước 3.2.4.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{x \ln (2)}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{3}{x \ln (2)}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{x \ln (2)}$