Giải tích Ví dụ

$y = 3 \ln (x) - \frac{5}{x^{4}}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 \ln (x) - \frac{5}{x^{4}})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 \ln (x) - \frac{5}{x^{4}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{4}}]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [3 \ln (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 \ln (x)$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{4}}]$

Bước 3.2.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$3 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{4}}]$

Bước 3.2.3

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{3}{x} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{4}}]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{4}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{5}{x^{4}}$ đối với $x$ là $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$\frac{3}{x} - 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Bước 3.3.2

Viết lại $\frac{1}{x^{4}}$ ở dạng ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{3}{x} - 5 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Bước 3.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{4}$ .

$\frac{3}{x} - 5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 3.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$\frac{3}{x} - 5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 3.3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{4}$ .

$\frac{3}{x} - 5 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 3.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{3}{x} - 5 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Bước 3.3.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{x} - 5 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Bước 3.3.5.2

Nhân $4$ với $- 2$ .

$\frac{3}{x} - 5 (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Bước 3.3.6

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\frac{3}{x} - 5 (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Bước 3.3.7

Nhân $x^{- 8}$ với $x^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.7.1

Di chuyển $x^{3}$ .

$\frac{3}{x} - 5 (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Bước 3.3.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{3}{x} - 5 (- 4 x^{3 - 8})$

Bước 3.3.7.3

Trừ $8$ khỏi $3$ .

$\frac{3}{x} - 5 (- 4 x^{- 5})$

Bước 3.3.8

Nhân $- 4$ với $- 5$ .

$\frac{3}{x} + 20 x^{- 5}$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{x} + 20 \frac{1}{x^{5}}$

Bước 3.4.2

Kết hợp $20$ và $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{3}{x} + \frac{20}{x^{5}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{3}{x} + \frac{20}{x^{5}}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{x} + \frac{20}{x^{5}}$