Giải tích Ví dụ

$y = \frac{x + y}{x - y}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x + y}{x - y})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x + y$ và $g (x) = x - y$ .

$\frac{(x - y) \frac{d}{d x} [x + y] - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x - y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(x - y) (1 + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Bước 3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Bước 3.4

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

Bước 3.6

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- y$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 - \frac{d}{d x} [y])}{{(x - y)}^{2}}$

Bước 3.7

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Bước 3.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(x - y) (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Bước 3.8.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.2.1.1

Khai triển $(x - y) (1 + y')$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.2.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x (1 + y') - y (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Bước 3.8.2.1.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x \cdot 1 + x y' - y (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Bước 3.8.2.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x \cdot 1 + x y' - y \cdot 1 - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Bước 3.8.2.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.2.1.2.1

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{x + x y' - y \cdot 1 - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Bước 3.8.2.1.2.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Bước 3.8.2.1.3

Khai triển $(- x - y) (1 - y')$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.2.1.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x (1 - y') - y (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Bước 3.8.2.1.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x \cdot 1 - x (- y') - y (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Bước 3.8.2.1.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x \cdot 1 - x (- y') - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Bước 3.8.2.1.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.2.1.4.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x - x (- y') - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Bước 3.8.2.1.4.2

Nhân $- x (- y')$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.2.1.4.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + 1 x y' - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Bước 3.8.2.1.4.2.2

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Bước 3.8.2.1.4.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Bước 3.8.2.1.4.4

Nhân $- y (- y')$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.2.1.4.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + 1 y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Bước 3.8.2.1.4.4.2

Nhân $y$ với $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Bước 3.8.2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + y y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.2.2.1

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$\frac{x y' - y - y y' + 0 + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Bước 3.8.2.2.2

Cộng $x y' - y - y y'$ và $0$ .

$\frac{x y' - y - y y' + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Bước 3.8.2.2.3

Cộng $- y y'$ và $y y'$ .

$\frac{x y' - y + x y' - y + 0}{{(x - y)}^{2}}$

Bước 3.8.2.2.4

Cộng $x y' - y + x y' - y$ và $0$ .

$\frac{x y' - y + x y' - y}{{(x - y)}^{2}}$

Bước 3.8.2.3

Cộng $x y'$ và $x y'$ .

$\frac{2 x y' - y - y}{{(x - y)}^{2}}$

Bước 3.8.2.4

Trừ $y$ khỏi $- y$ .

$\frac{2 x y' - 2 y}{{(x - y)}^{2}}$

Bước 3.8.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 x y' - 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x y'$ .

$\frac{2 (x y') - 2 y}{{(x - y)}^{2}}$

Bước 3.8.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 y$ .

$\frac{2 (x y') + 2 (- y)}{{(x - y)}^{2}}$

Bước 3.8.3.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (x y') + 2 (- y)$ .

$\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}}$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân cả hai vế với ${(x - y)}^{2}$ .

$y' {(x - y)}^{2} = \frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2}$

Bước 5.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn $\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung ${(x - y)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' {(x - y)}^{2} = \frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2}$

Bước 5.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y' {(x - y)}^{2} = 2 (x y' - y)$

Bước 5.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y' {(x - y)}^{2} = 2 (x y') + 2 (- y)$

Bước 5.2.1.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.3.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$y' {(x - y)}^{2} = 2 x y' - 2 y$

Bước 5.2.1.3.2

Di chuyển $x$ .

$y' {(x - y)}^{2} = 2 y' x - 2 y$

Bước 5.3

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $y'$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Trừ $2 y' x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y' {(x - y)}^{2} - 2 y' x = - 2 y$

Bước 5.3.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.2.1

Viết lại ${(x - y)}^{2}$ ở dạng $(x - y) (x - y)$ .

$y' ((x - y) (x - y)) - 2 y' x = - 2 y$

Bước 5.3.1.2.2

Khai triển $(x - y) (x - y)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.2.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y' (x (x - y) - y (x - y)) - 2 y' x = - 2 y$

Bước 5.3.1.2.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y' (x \cdot x + x (- y) - y (x - y)) - 2 y' x = - 2 y$

Bước 5.3.1.2.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y' (x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)) - 2 y' x = - 2 y$

Bước 5.3.1.2.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.2.3.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$y' (x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)) - 2 y' x = - 2 y$

Bước 5.3.1.2.3.1.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y' (x^{2} - x y - y x - y (- y)) - 2 y' x = - 2 y$

Bước 5.3.1.2.3.1.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y' (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y) - 2 y' x = - 2 y$

Bước 5.3.1.2.3.1.4

Nhân $y$ với $y$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.2.3.1.4.1

Di chuyển $y$ .

$y' (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)) - 2 y' x = - 2 y$

Bước 5.3.1.2.3.1.4.2

Nhân $y$ với $y$ .

$y' (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Bước 5.3.1.2.3.1.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y' (x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Bước 5.3.1.2.3.1.6

Nhân $y^{2}$ với $1$ .

$y' (x^{2} - x y - y x + y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Bước 5.3.1.2.3.2

Trừ $y x$ khỏi $- x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.2.3.2.1

Di chuyển $y$ .

$y' (x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Bước 5.3.1.2.3.2.2

Trừ $x y$ khỏi $- x y$ .

$y' (x^{2} - 2 x y + y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Bước 5.3.1.2.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Bước 5.3.1.2.5

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y' x^{2} - 2 y' x y + y' y^{2} - 2 y' x = - 2 y$

Bước 5.3.2

Đưa $y'$ ra ngoài $y' x^{2} - 2 y' x y + y' y^{2} - 2 y' x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Đưa $y'$ ra ngoài $y' x^{2}$ .

$y' (x^{2}) - 2 y' x y + y' (y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Bước 5.3.2.2

Đưa $y'$ ra ngoài $- 2 y' x y$ .

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Bước 5.3.2.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' y^{2}$ .

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Bước 5.3.2.4

Đưa $y'$ ra ngoài $- 2 y' x$ .

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (y^{2}) + y' (- 2 x) = - 2 y$

Bước 5.3.2.5

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (x^{2}) + y' (- 2 x y)$ .

$y' (x^{2} - 2 x y) + y' (y^{2}) + y' (- 2 x) = - 2 y$

Bước 5.3.2.6

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (x^{2} - 2 x y) + y' (y^{2})$ .

$y' (x^{2} - 2 x y + y^{2}) + y' (- 2 x) = - 2 y$

Bước 5.3.2.7

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (x^{2} - 2 x y + y^{2}) + y' (- 2 x)$ .

$y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x) = - 2 y$

Bước 5.3.3

Chia mỗi số hạng trong $y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x) = - 2 y$ cho $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x) = - 2 y$ cho $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x$ .

$\frac{y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x)}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x} = \frac{- 2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

Bước 5.3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x)}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x} = \frac{- 2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

Bước 5.3.3.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- 2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

Bước 5.3.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$