Giải tích Ví dụ

$\arctan (x + y) = y^{2} + \frac{π}{4}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (\arctan (x + y)) = \frac{d}{d x} (y^{2} + \frac{π}{4})$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \arctan (x)$ và $g (x) = x + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Bước 2.1.2

Đạo hàm của $\arctan (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + y$ .

$\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} (1 + y')$

Bước 2.4

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} (1 + y')$ .

$(1 + y') \frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}}$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y^{2} + \frac{π}{4}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

Bước 3.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

Bước 3.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

Bước 3.2.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $\frac{π}{4}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $\frac{π}{4}$ đối với $x$ là $0$ .

$2 y y' + 0$

Bước 3.3.2

Cộng $2 y y'$ và $0$ .

$2 y y'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$(1 + y') (\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}}) = 2 y y'$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn $(1 + y') \frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Viết lại.

$0 + 0 + (1 + y') \frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} = 2 y y'$

Bước 5.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$(1 + y') \frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} = 2 y y'$

Bước 5.1.3

Nhân $1 + y'$ với $\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}}$ .

$\frac{1 + y'}{1 + {(x + y)}^{2}} = 2 y y'$

Bước 5.2

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $y'$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Trừ $2 y y'$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{1 + y'}{1 + {(x + y)}^{2}} - 2 y y' = 0$

Bước 5.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Viết lại ${(x + y)}^{2}$ ở dạng $(x + y) (x + y)$ .

$\frac{1 + y'}{1 + (x + y) (x + y)} - 2 y y' = 0$

Bước 5.2.2.2

Khai triển $(x + y) (x + y)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1 + y'}{1 + x (x + y) + y (x + y)} - 2 y y' = 0$

Bước 5.2.2.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1 + y'}{1 + x \cdot x + x y + y (x + y)} - 2 y y' = 0$

Bước 5.2.2.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1 + y'}{1 + x \cdot x + x y + y x + y \cdot y} - 2 y y' = 0$

Bước 5.2.2.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.3.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + x y + y x + y \cdot y} - 2 y y' = 0$

Bước 5.2.2.3.1.2

Nhân $y$ với $y$ .

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + x y + y x + y^{2}} - 2 y y' = 0$

Bước 5.2.2.3.2

Cộng $x y$ và $y x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.3.2.1

Sắp xếp lại $y$ và $x$ .

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + x y + x y + y^{2}} - 2 y y' = 0$

Bước 5.2.2.3.2.2

Cộng $x y$ và $x y$ .

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} - 2 y y' = 0$

Bước 5.2.3

Để viết $- 2 y y'$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}$ .

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} - 2 y y' \cdot \frac{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Bước 5.2.4

Kết hợp $- 2 y y'$ và $\frac{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}$ .

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} + \frac{- 2 y y' (1 + x^{2} + 2 x y + y^{2})}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Bước 5.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1 + y' - 2 y y' (1 + x^{2} + 2 x y + y^{2})}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Bước 5.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1 + y' - 2 y y' \cdot 1 - 2 y y' x^{2} - 2 y y' (2 x y) - 2 y y' y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Bước 5.2.6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.2.1

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y y' (2 x y) - 2 y y' y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Bước 5.2.6.2.2

Nhân $y$ với $y$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.2.2.1

Di chuyển $y$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 (y \cdot y) y' (2 x) - 2 y y' y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Bước 5.2.6.2.2.2

Nhân $y$ với $y$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 y y' y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Bước 5.2.6.2.3

Nhân $y$ với $y^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.2.3.1

Di chuyển $y^{2}$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 (y^{2} y) y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Bước 5.2.6.2.3.2

Nhân $y^{2}$ với $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.2.3.2.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 (y^{2} y^{1}) y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Bước 5.2.6.2.3.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 y^{2 + 1} y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Bước 5.2.6.2.3.3

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 y^{3} y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Bước 5.2.6.3

Nhân $2$ với $- 2$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Bước 5.3

Cho tử bằng không.

$1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = 0$

Bước 5.4

Giải phương trình để tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = - 1$

Bước 5.4.2

Đưa $y'$ ra ngoài $y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Đưa $y'$ ra ngoài ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = - 1$

Bước 5.4.2.2

Đưa $y'$ ra ngoài $- 2 y y'$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 2 y) - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = - 1$

Bước 5.4.2.3

Đưa $y'$ ra ngoài $- 2 y y' x^{2}$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 2 y) + y' (- 2 y x^{2}) - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = - 1$

Bước 5.4.2.4

Đưa $y'$ ra ngoài $- 4 y^{2} y' x$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 2 y) + y' (- 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x) - 2 y^{3} y' = - 1$

Bước 5.4.2.5

Đưa $y'$ ra ngoài $- 2 y^{3} y'$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 2 y) + y' (- 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3}) = - 1$

Bước 5.4.2.6

Đưa $y'$ ra ngoài $y' \cdot 1 + y' (- 2 y)$ .

$y' \cdot (1 - 2 y) + y' (- 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3}) = - 1$

Bước 5.4.2.7

Đưa $y'$ ra ngoài $y' \cdot (1 - 2 y) + y' (- 2 y x^{2})$ .

$y' \cdot (1 - 2 y - 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3}) = - 1$

Bước 5.4.2.8

Đưa $y'$ ra ngoài $y' \cdot (1 - 2 y - 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x)$ .

$y' \cdot (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3}) = - 1$

Bước 5.4.2.9

Đưa $y'$ ra ngoài $y' \cdot (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3})$ .

$y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}) = - 1$

Bước 5.4.3

Chia mỗi số hạng trong $y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}) = - 1$ cho $1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}) = - 1$ cho $1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}$ .

$\frac{y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3})}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}} = \frac{- 1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$

Bước 5.4.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3})}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}} = \frac{- 1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$

Bước 5.4.3.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- 1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$

Bước 5.4.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$