Giải tích Ví dụ

$\sin (5 y) = x$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (\sin (5 y)) = \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 5 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $5 y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 y]$

Bước 2.1.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [5 y]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $5 y$ .

$\cos (5 y) \frac{d}{d x} [5 y]$

Bước 2.2

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 y$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (5 y) (5 \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\cos (5 y) (5 y')$

Bước 2.4

Sắp xếp lại các thừa số của $\cos (5 y) (5 y')$ .

$5 \cos (5 y) y'$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$5 \cos (5 y) y' = 1$

Bước 5

Chia mỗi số hạng trong $5 \cos (5 y) y' = 1$ cho $5 \cos (5 y)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia mỗi số hạng trong $5 \cos (5 y) y' = 1$ cho $5 \cos (5 y)$ .

$\frac{5 \cos (5 y) y'}{5 \cos (5 y)} = \frac{1}{5 \cos (5 y)}$

Bước 5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 \cos (5 y) y'}{5 \cos (5 y)} = \frac{1}{5 \cos (5 y)}$

Bước 5.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\cos (5 y) y'}{\cos (5 y)} = \frac{1}{5 \cos (5 y)}$

Bước 5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (5 y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\cos (5 y) y'}{\cos (5 y)} = \frac{1}{5 \cos (5 y)}$

Bước 5.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{1}{5 \cos (5 y)}$

Bước 5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Tách các phân số.

$y' = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\cos (5 y)}$

Bước 5.3.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (5 y)}$ sang $\sec (5 y)$ .

$y' = \frac{1}{5} \sec (5 y)$

Bước 5.3.3

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $\sec (5 y)$ .

$y' = \frac{\sec (5 y)}{5}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec (5 y)}{5}$