Giải tích Ví dụ

$y = {(4 x + 3)}^{5}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(4 x + 3)}^{5})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{5}$ và $g (x) = 4 x + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $4 x + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 x + 3$ .

$5 {(4 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$5 {(4 x + 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Bước 3.2.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(4 x + 3)}^{4} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Bước 3.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 {(4 x + 3)}^{4} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Bước 3.2.4

Nhân $4$ với $1$ .

$5 {(4 x + 3)}^{4} (4 + \frac{d}{d x} [3])$

Bước 3.2.5

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$5 {(4 x + 3)}^{4} (4 + 0)$

Bước 3.2.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.1

Cộng $4$ và $0$ .

$5 {(4 x + 3)}^{4} \cdot 4$

Bước 3.2.6.2

Nhân $4$ với $5$ .

$20 {(4 x + 3)}^{4}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = 20 {(4 x + 3)}^{4}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 20 {(4 x + 3)}^{4}$