Giải tích Ví dụ

$1 + \ln (x y) = e^{x - y}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (1 + \ln (x y)) = \frac{d}{d x} (e^{x - y})$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + \ln (x y)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Bước 2.1.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x y$ .

$0 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 2.2.1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$0 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 2.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x y$ .

$0 + \frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$0 + \frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$0 + \frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + \frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1)$

Bước 2.2.5

Nhân $y$ với $1$ .

$0 + \frac{1}{x y} (x y' + y)$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$0 + \frac{1}{x y} (x y') + \frac{1}{x y} y$

Bước 2.3.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x y}$ .

$0 + \frac{x}{x y} y' + \frac{1}{x y} y$

Bước 2.3.2.2

Kết hợp $\frac{x}{x y}$ và $y'$ .

$0 + \frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Bước 2.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$0 + \frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Bước 2.3.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$0 + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x y} y$

Bước 2.3.2.4

Kết hợp $\frac{1}{x y}$ và $y$ .

$0 + \frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Bước 2.3.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$0 + \frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Bước 2.3.2.5.2

Viết lại biểu thức.

$0 + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

Bước 2.3.2.6

Cộng $0$ và $\frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x - y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - y]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - y$ .

$e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Bước 3.2.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- y$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$e^{x - y} (1 - y')$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y} (1 - y')$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn $e^{x - y} (1 - y')$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Viết lại.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 0 + 0 + e^{x - y} (1 - y')$

Bước 5.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y} (1 - y')$

Bước 5.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y} \cdot 1 + e^{x - y} (- y')$

Bước 5.1.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.1

Nhân $e^{x - y}$ với $1$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y} + e^{x - y} (- y')$

Bước 5.1.4.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y} - e^{x - y} y'$

Bước 5.1.4.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x - y} - e^{x - y} y'$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y} - y' e^{x - y}$

Bước 5.2

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $y'$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Cộng $y' e^{x - y}$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} + y' e^{x - y} = e^{x - y}$

Bước 5.2.2

Để viết $y' e^{x - y}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y' e^{x - y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y}$

Bước 5.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{y' + y' e^{x - y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y}$

Bước 5.2.4

Đưa $y'$ ra ngoài $y' + y' e^{x - y} y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Nâng $y'$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{{y'}^{1} + y' e^{x - y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y}$

Bước 5.2.4.2

Đưa $y'$ ra ngoài ${y'}^{1}$ .

$\frac{y' \cdot 1 + y' e^{x - y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y}$

Bước 5.2.4.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' e^{x - y} y$ .

$\frac{y' \cdot 1 + y' (e^{x - y} y)}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y}$

Bước 5.2.4.4

Đưa $y'$ ra ngoài $y' \cdot 1 + y' (e^{x - y} y)$ .

$\frac{y' (1 + e^{x - y} y)}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y}$

Bước 5.2.5

Để viết $\frac{y' (1 + e^{x - y} y)}{y}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$\frac{y' (1 + e^{x - y} y)}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = e^{x - y}$

Bước 5.2.6

Để viết $\frac{1}{x}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y' (1 + e^{x - y} y)}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} = e^{x - y}$

Bước 5.2.7

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $y x$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.7.1

Nhân $\frac{y' (1 + e^{x - y} y)}{y}$ với $\frac{x}{x}$ .

$\frac{y' (1 + e^{x - y} y) x}{y x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} = e^{x - y}$

Bước 5.2.7.2

Nhân $\frac{1}{x}$ với $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y' (1 + e^{x - y} y) x}{y x} + \frac{y}{x y} = e^{x - y}$

Bước 5.2.7.3

Sắp xếp lại các thừa số của $y x$ .

$\frac{y' (1 + e^{x - y} y) x}{x y} + \frac{y}{x y} = e^{x - y}$

Bước 5.2.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{y' (1 + e^{x - y} y) x + y}{x y} = e^{x - y}$

Bước 5.2.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.9.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(y' \cdot 1 + y' (e^{x - y} y)) x + y}{x y} = e^{x - y}$

Bước 5.2.9.2

Nhân $y'$ với $1$ .

$\frac{(y' + y' (e^{x - y} y)) x + y}{x y} = e^{x - y}$

Bước 5.2.9.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{y' x + y' e^{x - y} y x + y}{x y} = e^{x - y}$

Bước 5.2.10

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{y' x + y' e^{x - y} y x + y}{x y}$ .

$\frac{y' x + y' y x e^{x - y} + y}{x y} = e^{x - y}$

Bước 5.3

Nhân cả hai vế với $x y$ .

$\frac{y' x + y' y x e^{x - y} + y}{x y} (x y) = e^{x - y} (x y)$

Bước 5.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1

Rút gọn $\frac{y' x + y' y x e^{x - y} + y}{x y} (x y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' x + y' y x e^{x - y} + y}{x y} (x y) = e^{x - y} (x y)$

Bước 5.4.1.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y' x + y' y x e^{x - y} + y = e^{x - y} (x y)$

Bước 5.4.1.1.2

Sắp xếp lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1.2.1

Di chuyển $y$ .

$y' x + y' x y e^{x - y} + y = e^{x - y} (x y)$

Bước 5.4.1.1.2.2

Di chuyển $y' x y e^{x - y}$ .

$y' x + y + y' x y e^{x - y} = e^{x - y} (x y)$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x - y} (x y)$ .

$y' x + y + y' x y e^{x - y} = x y e^{x - y}$

Bước 5.5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Trừ $y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y' x + y' x y e^{x - y} = x y e^{x - y} - y$

Bước 5.5.2

Đưa $y' x$ ra ngoài $y' x + y' x y e^{x - y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Đưa $y' x$ ra ngoài $y' x$ .

$y' x \cdot 1 + y' x y e^{x - y} = x y e^{x - y} - y$

Bước 5.5.2.2

Đưa $y' x$ ra ngoài $y' x y e^{x - y}$ .

$y' x \cdot 1 + y' x (y e^{x - y}) = x y e^{x - y} - y$

Bước 5.5.2.3

Đưa $y' x$ ra ngoài $y' x \cdot 1 + y' x (y e^{x - y})$ .

$y' x (1 + y e^{x - y}) = x y e^{x - y} - y$

Bước 5.5.3

Chia mỗi số hạng trong $y' x (1 + y e^{x - y}) = x y e^{x - y} - y$ cho $x (1 + y e^{x - y})$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $y' x (1 + y e^{x - y}) = x y e^{x - y} - y$ cho $x (1 + y e^{x - y})$ .

$\frac{y' x (1 + y e^{x - y})}{x (1 + y e^{x - y})} = \frac{x y e^{x - y}}{x (1 + y e^{x - y})} + \frac{- y}{x (1 + y e^{x - y})}$

Bước 5.5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' x (1 + y e^{x - y})}{x (1 + y e^{x - y})} = \frac{x y e^{x - y}}{x (1 + y e^{x - y})} + \frac{- y}{x (1 + y e^{x - y})}$

Bước 5.5.3.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y' (1 + y e^{x - y})}{1 + y e^{x - y}} = \frac{x y e^{x - y}}{x (1 + y e^{x - y})} + \frac{- y}{x (1 + y e^{x - y})}$

Bước 5.5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $1 + y e^{x - y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (1 + y e^{x - y})}{1 + y e^{x - y}} = \frac{x y e^{x - y}}{x (1 + y e^{x - y})} + \frac{- y}{x (1 + y e^{x - y})}$

Bước 5.5.3.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{x y e^{x - y}}{x (1 + y e^{x - y})} + \frac{- y}{x (1 + y e^{x - y})}$

Bước 5.5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{x y e^{x - y} - y}{x (1 + y e^{x - y})}$

Bước 5.5.3.3.2

Đưa $y$ ra ngoài $x y e^{x - y} - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.3.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $x y e^{x - y}$ .

$y' = \frac{y (x e^{x - y}) - y}{x (1 + y e^{x - y})}$

Bước 5.5.3.3.2.2

Đưa $y$ ra ngoài $- y$ .

$y' = \frac{y (x e^{x - y}) + y \cdot - 1}{x (1 + y e^{x - y})}$

Bước 5.5.3.3.2.3

Đưa $y$ ra ngoài $y (x e^{x - y}) + y \cdot - 1$ .

$y' = \frac{y (x e^{x - y} - 1)}{x (1 + y e^{x - y})}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x e^{x - y} - 1)}{x (1 + y e^{x - y})}$