Giải tích Ví dụ

$y^{3} + 3 x^{2} y + 13 = 0$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y^{3} + 3 x^{2} y + 13) = \frac{d}{d x} (0)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y^{3} + 3 x^{2} y + 13$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [13]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [13]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [13]$

Bước 2.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [13]$

Bước 2.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [13]$

Bước 2.2.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [13]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{2} y$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$3 y^{2} y' + 3 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [13]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

$3 y^{2} y' + 3 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [13]$

Bước 2.3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$3 y^{2} y' + 3 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [13]$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 y^{2} y' + 3 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [13]$

Bước 2.3.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y$ .

$3 y^{2} y' + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [13]$

Bước 2.4

Vì $13$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $13$ đối với $x$ là $0$ .

$3 y^{2} y' + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 0$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 y^{2} y' + 3 (x^{2} y') + 3 (2 y x) + 0$

Bước 2.5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Nhân $2$ với $3$ .

$3 y^{2} y' + 3 x^{2} y' + 6 (y x) + 0$

Bước 2.5.2.2

Cộng $3 y^{2} y' + 3 x^{2} y' + 6 y x$ và $0$ .

$3 y^{2} y' + 3 x^{2} y' + 6 y x$

Bước 2.5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$3 y^{2} y' + 3 x^{2} y' + 6 x y$

Bước 3

Vì $0$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $0$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$3 y^{2} y' + 3 x^{2} y' + 6 x y = 0$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Trừ $6 x y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 y^{2} y' + 3 x^{2} y' = - 6 x y$

Bước 5.2

Đưa $3 y'$ ra ngoài $3 y^{2} y' + 3 x^{2} y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $3 y'$ ra ngoài $3 y^{2} y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 x^{2} y' = - 6 x y$

Bước 5.2.2

Đưa $3 y'$ ra ngoài $3 x^{2} y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' x^{2} = - 6 x y$

Bước 5.2.3

Đưa $3 y'$ ra ngoài $3 y' y^{2} + 3 y' x^{2}$ .

$3 y' (y^{2} + x^{2}) = - 6 x y$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $3 y' (y^{2} + x^{2}) = - 6 x y$ cho $3 (y^{2} + x^{2})$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $3 y' (y^{2} + x^{2}) = - 6 x y$ cho $3 (y^{2} + x^{2})$ .

$\frac{3 y' (y^{2} + x^{2})}{3 (y^{2} + x^{2})} = \frac{- 6 x y}{3 (y^{2} + x^{2})}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 y' (y^{2} + x^{2})}{3 (y^{2} + x^{2})} = \frac{- 6 x y}{3 (y^{2} + x^{2})}$

Bước 5.3.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y' (y^{2} + x^{2})}{y^{2} + x^{2}} = \frac{- 6 x y}{3 (y^{2} + x^{2})}$

Bước 5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $y^{2} + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (y^{2} + x^{2})}{y^{2} + x^{2}} = \frac{- 6 x y}{3 (y^{2} + x^{2})}$

Bước 5.3.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- 6 x y}{3 (y^{2} + x^{2})}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 6$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 6 x y$ .

$y' = \frac{3 (- 2 x y)}{3 (y^{2} + x^{2})}$

Bước 5.3.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{3 (- 2 x y)}{3 (y^{2} + x^{2})}$

Bước 5.3.3.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{- 2 x y}{y^{2} + x^{2}}$

Bước 5.3.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{2 x y}{y^{2} + x^{2}}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{y^{2} + x^{2}}$