Giải tích Ví dụ

$y^{2} - 50 x y = 600$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y^{2} - 50 x y) = \frac{d}{d x} (600)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y^{2} - 50 x y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 50 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 50 x y]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 50 x y]$

Bước 2.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 50 x y]$

Bước 2.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 50 x y]$

Bước 2.2.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- 50 x y]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 50 x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 50$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 50 x y$ đối với $x$ là $- 50 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 y y' - 50 \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$2 y y' - 50 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$2 y y' - 50 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 y y' - 50 (x y' + y \cdot 1)$

Bước 2.3.5

Nhân $y$ với $1$ .

$2 y y' - 50 (x y' + y)$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 y y' - 50 (x y') - 50 y$

Bước 2.4.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$2 y y' - 50 x y' - 50 y$

Bước 3

Vì $600$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $600$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$2 y y' - 50 x y' - 50 y = 0$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cộng $50 y$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 y y' - 50 x y' = 50 y$

Bước 5.2

Đưa $2 y'$ ra ngoài $2 y y' - 50 x y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $2 y'$ ra ngoài $2 y y'$ .

$2 y' y - 50 x y' = 50 y$

Bước 5.2.2

Đưa $2 y'$ ra ngoài $- 50 x y'$ .

$2 y' y + 2 y' (- 25 x) = 50 y$

Bước 5.2.3

Đưa $2 y'$ ra ngoài $2 y' y + 2 y' (- 25 x)$ .

$2 y' (y - 25 x) = 50 y$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $2 y' (y - 25 x) = 50 y$ cho $2 (y - 25 x)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 y' (y - 25 x) = 50 y$ cho $2 (y - 25 x)$ .

$\frac{2 y' (y - 25 x)}{2 (y - 25 x)} = \frac{50 y}{2 (y - 25 x)}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y' (y - 25 x)}{2 (y - 25 x)} = \frac{50 y}{2 (y - 25 x)}$

Bước 5.3.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y' (y - 25 x)}{y - 25 x} = \frac{50 y}{2 (y - 25 x)}$

Bước 5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $y - 25 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (y - 25 x)}{y - 25 x} = \frac{50 y}{2 (y - 25 x)}$

Bước 5.3.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{50 y}{2 (y - 25 x)}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $50$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $50 y$ .

$y' = \frac{2 (25 y)}{2 (y - 25 x)}$

Bước 5.3.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{2 (25 y)}{2 (y - 25 x)}$

Bước 5.3.3.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{25 y}{y - 25 x}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{25 y}{y - 25 x}$