Giải tích Ví dụ

$y^{2} = \frac{x}{x + 1}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{x + 1})$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$2 y y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.2.2

Nhân $x + 1$ với $1$ .

$\frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.2.5

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.2.6

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.2.6.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.2.6.3

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$\frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.2.6.4

Cộng $0$ và $1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$2 y y' = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 5

Chia mỗi số hạng trong $2 y y' = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ cho $2 y$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia mỗi số hạng trong $2 y y' = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ cho $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

Bước 5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

Bước 5.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

Bước 5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

Bước 5.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

Bước 5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y' = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{2 y}$

Bước 5.3.2

Kết hợp.

$y' = \frac{1 \cdot 1}{{(x + 1)}^{2} (2 y)}$

Bước 5.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Nhân $1$ với $1$ .

$y' = \frac{1}{{(x + 1)}^{2} \cdot 2 y}$

Bước 5.3.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${(x + 1)}^{2}$ .

$y' = \frac{1}{2 \cdot {(x + 1)}^{2} y}$

Bước 5.3.3.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{2} y}$ .

$y' = \frac{1}{2 y {(x + 1)}^{2}}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y {(x + 1)}^{2}}$