Giải tích Ví dụ

$\sqrt{x^{4} + y^{2}} = 5 x + 2 y^{3}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{4} + y^{2}}$ ở dạng ${(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 5 x + 2 y^{3}$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} ({(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (5 x + 2 y^{3})$

Bước 3

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = x^{4} + y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x^{4} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{4} + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

Bước 3.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

Bước 3.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

Bước 3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

Bước 3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

Bước 3.5.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

Bước 3.6

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

Bước 3.6.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(x^{4} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{4} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

Bước 3.6.2.2

Di chuyển ${(x^{4} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

Bước 3.6.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{4} + y^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Bước 3.6.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Bước 3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $y$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.7.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.7.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $y$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.8

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + 2 y y')$

Bước 3.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + 2 y y')$ .

$(4 x^{3} + 2 y y') \frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.9.2

Nhân $4 x^{3} + 2 y y'$ với $\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 x^{3} + 2 y y'}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.9.3

Đưa $2$ ra ngoài $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3}) + 2 y y'}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.9.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 y y'$ .

$\frac{2 (2 x^{3}) + 2 (y y')}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.9.5

Đưa $2$ ra ngoài $2 (2 x^{3}) + 2 (y y')$ .

$\frac{2 (2 x^{3} + y y')}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.9.6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 x^{3} + y y')}{2 ({(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 3.9.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (2 x^{3} + y y')}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.9.6.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 x^{3} + y y'}{{(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 x + 2 y^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Bước 4.2

Tính $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Bước 4.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Bước 4.2.3

Nhân $5$ với $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Bước 4.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 y^{3}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$5 + 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Bước 4.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$5 + 2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Bước 4.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$5 + 2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Bước 4.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$5 + 2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Bước 4.3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$5 + 2 (3 y^{2} y')$

Bước 4.3.4

Nhân $3$ với $2$ .

$5 + 6 y^{2} y'$

Bước 4.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$6 y^{2} y' + 5$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$\frac{2 x^{3} + y y'}{{(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 6 y^{2} y' + 5$

Bước 6

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân cả hai vế với ${(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x^{3} + y y'}{{(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = (6 y^{2} y' + 5) {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Rút gọn $\frac{2 x^{3} + y y'}{{(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung ${(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x^{3} + y y'}{{(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = (6 y^{2} y' + 5) {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 6.2.1.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$2 x^{3} + y y' = (6 y^{2} y' + 5) {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 6.2.1.1.2

Sắp xếp lại $y$ và $y'$ .

$2 x^{3} + y' y = (6 y^{2} y' + 5) {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 6.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Rút gọn $(6 y^{2} y' + 5) {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 x^{3} + y' y = 6 y^{2} y' {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 6.2.2.1.2

Di chuyển $y^{2}$ .

$2 x^{3} + y' y = 6 y' y^{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 6.3

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Trừ $6 y' y^{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 x^{3} + y' y - 6 y' y^{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 6.3.2

Trừ $2 x^{3}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y' y - 6 y' y^{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}$

Bước 6.3.3

Đưa $y' y$ ra ngoài $y' y - 6 y' y^{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1

Đưa $y' y$ ra ngoài $y' y$ .

$y' y \cdot 1 - 6 y' y^{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}$

Bước 6.3.3.2

Đưa $y' y$ ra ngoài $- 6 y' y^{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' y \cdot 1 + y' y (- 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}$

Bước 6.3.3.3

Đưa $y' y$ ra ngoài $y' y \cdot 1 + y' y (- 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

$y' y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}$

Bước 6.3.4

Chia mỗi số hạng trong $y' y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}$ cho $y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y' y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}$ cho $y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{y' y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} = \frac{5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} + \frac{- 2 x^{3}}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 6.3.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

Bước 6.3.4.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y' (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}{1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} + \frac{- 2 x^{3}}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 6.3.4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

Bước 6.3.4.2.4

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} + \frac{- 2 x^{3}}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 6.3.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.4.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 7

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$