Giải tích Ví dụ

$\int x^{11} e^{x^{12}} d x$

Bước 1

Giả sử $u_{1} = x^{2}$ . Sau đó $d u_{1} = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{1} = x^{2}$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int {\sqrt{u_{1}}}^{10} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại ${\sqrt{u_{1}}}^{10}$ ở dạng ${u_{1}}^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u_{1}}$ ở dạng ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{10} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 10} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $10$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{10}{2}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $10$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $10$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 5}{2}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 5}{2 (1)}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int {u_{1}}^{\frac{5}{1}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.1.4.2.4

Chia $5$ cho $1$ .

$\int {u_{1}}^{5} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.2

Viết lại ${\sqrt{u_{1}}}^{12}$ ở dạng ${u_{1}}^{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u_{1}}$ ở dạng ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {u_{1}}^{5} e^{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $12$ .

$\int {u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{\frac{12}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $12$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $12$ .

$\int {u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 6}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\int {u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 6}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int {u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int {u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{\frac{6}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.2.4.2.4

Chia $6$ cho $1$ .

$\int {u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${u_{1}}^{5}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{5}}{2} e^{{u_{1}}^{6}} d u_{1}$

Bước 2.4

Kết hợp $\frac{{u_{1}}^{5}}{2}$ và $e^{{u_{1}}^{6}}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{6}}}{2} d u_{1}$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{6}} d u_{1}$

Bước 4

Giả sử $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Sau đó $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Bước 4.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int {\sqrt{u_{2}}}^{4} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại ${\sqrt{u_{2}}}^{4}$ ở dạng ${u_{2}}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u_{2}}$ ở dạng ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{4} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 5.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot 4} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 5.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $4$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{4}{2}} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 5.1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 5.1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 5.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 5.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{2}{1}} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 5.1.4.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 5.2

Viết lại ${\sqrt{u_{2}}}^{6}$ ở dạng ${u_{2}}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u_{2}}$ ở dạng ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 5.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot 6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 5.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $6$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{\frac{6}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 5.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 5.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 5.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 5.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{\frac{3}{1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 5.2.4.2.4

Chia $3$ cho $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{3}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 5.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{2} e^{{u_{2}}^{3}} d u_{2}$

Bước 5.4

Kết hợp $\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$ và $e^{{u_{2}}^{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{3}}}{2} d u_{2}$

Bước 6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{3}} d u_{2})$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{3}} d u_{2}$

Bước 7.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{1}{4} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{3}} d u_{2}$

Bước 8

Giả sử $u_{3} = {u_{2}}^{3}$ . Sau đó $d u_{3} = 3 {u_{2}}^{2} d u_{2}$ , nên $\frac{1}{3} d u_{3} = {u_{2}}^{2} d u_{2}$ . Viết lại bằng $u_{3}$ và $d$ $u_{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Hãy đặt $u_{3} = {u_{2}}^{3}$ . Tìm $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Tính đạo hàm ${u_{2}}^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}]$

Bước 8.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 {u_{2}}^{2}$

Bước 8.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{3}$ và $d u_{3}$ .

$\frac{1}{4} \int e^{u_{3}} \frac{1}{3} d u_{3}$

Bước 9

Kết hợp $e^{u_{3}}$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{e^{u_{3}}}{3} d u_{3}$

Bước 10

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u_{3}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} \int e^{u_{3}} d u_{3})$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 4} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Bước 11.2

Nhân $3$ với $4$ .

$\frac{1}{12} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Bước 12

Tích phân của $e^{u_{3}}$ đối với $u_{3}$ là $e^{u_{3}}$ .

$\frac{1}{12} (e^{u_{3}} + C)$

Bước 13

Rút gọn.

$\frac{1}{12} e^{u_{3}} + C$

Bước 14

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với ${u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{12} e^{{u_{2}}^{3}} + C$

Bước 14.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{1}{12} e^{{({u_{1}}^{2})}^{3}} + C$

Bước 14.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{2}$ .

$\frac{1}{12} e^{{({(x^{2})}^{2})}^{3}} + C$