Giải tích Ví dụ

$u = \sqrt[7]{t} + 6 \sqrt{t^{7}}$

Bước 1

Viết lại vế phải với các số mũ hữu tỉ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[7]{t}$ ở dạng $t^{\frac{1}{7}}$ .

$u = t^{\frac{1}{7}} + 6 \sqrt{t^{7}}$

Bước 1.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{t^{7}}$ ở dạng $t^{\frac{7}{2}}$ .

$u = t^{\frac{1}{7}} + 6 t^{\frac{7}{2}}$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d t} (u) = \frac{d}{d t} (t^{\frac{1}{7}} + 6 t^{\frac{7}{2}})$

Bước 3

Đạo hàm của $u$ đối với $t$ là $u'$ .

$u'$

Bước 4

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t^{\frac{1}{7}} + 6 t^{\frac{7}{2}}$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{7}}] + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{7}}] + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

Bước 4.2

Tính $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{7}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{7}$ .

$\frac{1}{7} t^{\frac{1}{7} - 1} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

Bước 4.2.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{7} t^{\frac{1}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

Bước 4.2.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{7} t^{\frac{1}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

Bước 4.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{7} t^{\frac{1 - 1 \cdot 7}{7}} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

Bước 4.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1

Nhân $- 1$ với $7$ .

$\frac{1}{7} t^{\frac{1 - 7}{7}} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

Bước 4.2.5.2

Trừ $7$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{7} t^{\frac{- 6}{7}} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

Bước 4.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

Bước 4.3

Tính $\frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $6$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $6 t^{\frac{7}{2}}$ đối với $t$ là $6 \frac{d}{d t} [t^{\frac{7}{2}}]$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 \frac{d}{d t} [t^{\frac{7}{2}}]$

Bước 4.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{7}{2}$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 (\frac{7}{2} t^{\frac{7}{2} - 1})$

Bước 4.3.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 (\frac{7}{2} t^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 4.3.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 (\frac{7}{2} t^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 4.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 (\frac{7}{2} t^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 4.3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 (\frac{7}{2} t^{\frac{7 - 2}{2}})$

Bước 4.3.6.2

Trừ $2$ khỏi $7$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 (\frac{7}{2} t^{\frac{5}{2}})$

Bước 4.3.7

Kết hợp $\frac{7}{2}$ và $t^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 \frac{7 t^{\frac{5}{2}}}{2}$

Bước 4.3.8

Kết hợp $6$ và $\frac{7 t^{\frac{5}{2}}}{2}$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{6 (7 t^{\frac{5}{2}})}{2}$

Bước 4.3.9

Nhân $7$ với $6$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{42 t^{\frac{5}{2}}}{2}$

Bước 4.3.10

Đưa $2$ ra ngoài $42 t^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{2 (21 t^{\frac{5}{2}})}{2}$

Bước 4.3.11

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.11.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{2 (21 t^{\frac{5}{2}})}{2 (1)}$

Bước 4.3.11.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{2 (21 t^{\frac{5}{2}})}{2 \cdot 1}$

Bước 4.3.11.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{21 t^{\frac{5}{2}}}{1}$

Bước 4.3.11.4

Chia $21 t^{\frac{5}{2}}$ cho $1$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 21 t^{\frac{5}{2}}$

Bước 4.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{t^{\frac{6}{7}}} + 21 t^{\frac{5}{2}}$

Bước 4.4.2

Nhân $\frac{1}{7}$ với $\frac{1}{t^{\frac{6}{7}}}$ .

$\frac{1}{7 t^{\frac{6}{7}}} + 21 t^{\frac{5}{2}}$

Bước 4.4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$21 t^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{7 t^{\frac{6}{7}}}$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$u' = 21 t^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{7 t^{\frac{6}{7}}}$

Bước 6

Thay thế $u'$ bằng $\frac{d u}{d t}$ .

$\frac{d u}{d t} = 21 t^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{7 t^{\frac{6}{7}}}$