Giải tích Ví dụ

$w = \frac{2}{3} - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y^{2}}{3}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d w} (w) = \frac{d}{d w} (\frac{2}{3} - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y^{2}}{3})$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ là $n w^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{2}{3} - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y^{2}}{3}$ đối với $w$ là $\frac{d}{d w} [\frac{2}{3}] + \frac{d}{d w} [- \frac{y^{2}}{5}] + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$ .

$\frac{d}{d w} [\frac{2}{3}] + \frac{d}{d w} [- \frac{y^{2}}{5}] + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Bước 3.1.2

Vì $\frac{2}{3}$ là hằng số đối với $w$ , đạo hàm của $\frac{2}{3}$ đối với $w$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d w} [- \frac{y^{2}}{5}] + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d w} [- \frac{y^{2}}{5}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $- \frac{1}{5}$ không đổi đối với $w$ , nên đạo hàm của $- \frac{y^{2}}{5}$ đối với $w$ là $- \frac{1}{5} \frac{d}{d w} [y^{2}]$ .

$0 - \frac{1}{5} \frac{d}{d w} [y^{2}] + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ là $f' (g (w)) g' (w)$ trong đó $f (w) = w^{2}$ và $g (w) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $y$ .

$0 - \frac{1}{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d w} [y]) + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Bước 3.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 - \frac{1}{5} (2 u_{1} \frac{d}{d w} [y]) + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Bước 3.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $y$ .

$0 - \frac{1}{5} (2 y \frac{d}{d w} [y]) + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Bước 3.2.3

Viết lại $\frac{d}{d w} [y]$ ở dạng $y'$ .

$0 - \frac{1}{5} (2 y y') + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Bước 3.2.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$0 - 2 (\frac{1}{5}) (y y') + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Bước 3.2.5

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{5}$ .

$0 + \frac{- 2}{5} (y y') + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Bước 3.2.6

Kết hợp $y$ và $\frac{- 2}{5}$ .

$0 + \frac{y \cdot - 2}{5} y' + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Bước 3.2.7

Kết hợp $\frac{y \cdot - 2}{5}$ và $y'$ .

$0 + \frac{y \cdot - 2 y'}{5} + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Bước 3.2.8

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $y$ .

$0 + \frac{- 2 \cdot y y'}{5} + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Bước 3.2.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $\frac{4}{3}$ không đổi đối với $w$ , nên đạo hàm của $\frac{4 y^{2}}{3}$ đối với $w$ là $\frac{4}{3} \frac{d}{d w} [y^{2}]$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{4}{3} \frac{d}{d w} [y^{2}]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ là $f' (g (w)) g' (w)$ trong đó $f (w) = w^{2}$ và $g (w) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $y$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{4}{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d w} [y])$

Bước 3.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{4}{3} (2 u_{2} \frac{d}{d w} [y])$

Bước 3.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $y$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{4}{3} (2 y \frac{d}{d w} [y])$

Bước 3.3.3

Viết lại $\frac{d}{d w} [y]$ ở dạng $y'$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{4}{3} (2 y y')$

Bước 3.3.4

Kết hợp $2$ và $\frac{4}{3}$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{2 \cdot 4}{3} (y y')$

Bước 3.3.5

Nhân $2$ với $4$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{8}{3} (y y')$

Bước 3.3.6

Kết hợp $y$ và $\frac{8}{3}$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{y \cdot 8}{3} y'$

Bước 3.3.7

Kết hợp $\frac{y \cdot 8}{3}$ và $y'$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{y \cdot 8 y'}{3}$

Bước 3.3.8

Di chuyển $8$ sang phía bên trái của $y$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{8 y y'}{3}$

Bước 3.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Trừ $\frac{2 y y'}{5}$ khỏi $0$ .

$- \frac{2 y y'}{5} + \frac{8 y y'}{3}$

Bước 3.4.2

Để viết $- \frac{2 y y'}{5}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 y y'}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{8 y y'}{3}$

Bước 3.4.3

Để viết $\frac{8 y y'}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{2 y y'}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{8 y y'}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Bước 3.4.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $15$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.1

Nhân $\frac{2 y y'}{5}$ với $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 y y' \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{8 y y'}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Bước 3.4.4.2

Nhân $5$ với $3$ .

$- \frac{2 y y' \cdot 3}{15} + \frac{8 y y'}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Bước 3.4.4.3

Nhân $\frac{8 y y'}{3}$ với $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{2 y y' \cdot 3}{15} + \frac{8 y y' \cdot 5}{3 \cdot 5}$

Bước 3.4.4.4

Nhân $3$ với $5$ .

$- \frac{2 y y' \cdot 3}{15} + \frac{8 y y' \cdot 5}{15}$

Bước 3.4.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 2 y y' \cdot 3 + 8 y y' \cdot 5}{15}$

Bước 3.4.6

Nhân $3$ với $- 2$ .

$\frac{- 6 y y' + 8 y y' \cdot 5}{15}$

Bước 3.4.7

Nhân $5$ với $8$ .

$\frac{- 6 y y' + 40 y y'}{15}$

Bước 3.4.8

Cộng $- 6 y y'$ và $40 y y'$ .

$\frac{34 y y'}{15}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$1 = \frac{34 y y'}{15}$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{34 y y'}{15} = 1$ .

$\frac{34 y y'}{15} = 1$

Bước 5.2

Nhân cả hai vế của phương trình với $\frac{15}{34}$ .

$\frac{15}{34} \cdot \frac{34 y y'}{15} = \frac{15}{34} \cdot 1$

Bước 5.3

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Rút gọn $\frac{15}{34} \cdot \frac{34 y y'}{15}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $15$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{15}{34} \cdot \frac{34 y y'}{15} = \frac{15}{34} \cdot 1$

Bước 5.3.1.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{34} (34 y y') = \frac{15}{34} \cdot 1$

Bước 5.3.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $34$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1.2.1

Đưa $34$ ra ngoài $34 y y'$ .

$\frac{1}{34} (34 (y y')) = \frac{15}{34} \cdot 1$

Bước 5.3.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{34} (34 (y y')) = \frac{15}{34} \cdot 1$

Bước 5.3.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y y' = \frac{15}{34} \cdot 1$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Nhân $\frac{15}{34}$ với $1$ .

$y y' = \frac{15}{34}$

Bước 5.4

Chia mỗi số hạng trong $y y' = \frac{15}{34}$ cho $y$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y y' = \frac{15}{34}$ cho $y$ .

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{15}{34}}{y}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{15}{34}}{y}$

Bước 5.4.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{\frac{15}{34}}{y}$

Bước 5.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y' = \frac{15}{34} \cdot \frac{1}{y}$

Bước 5.4.3.2

Nhân $\frac{15}{34}$ với $\frac{1}{y}$ .

$y' = \frac{15}{34 y}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d w}$ .

$\frac{d y}{d w} = \frac{15}{34 y}$