Giải tích Ví dụ

$x^{3} + t^{3} x + t^{2} - 7 = 0$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d t} (x^{3} + t^{3} x + t^{2} - 7) = \frac{d}{d t} (0)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} + t^{3} x + t^{2} - 7$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [x^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{3} x] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$ .

$\frac{d}{d t} [x^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{3} x] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d t} [x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = t^{3}$ và $g (t) = x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [t^{3} x] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$

Bước 2.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [t^{3} x] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$

Bước 2.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x$ .

$3 x^{2} \frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [t^{3} x] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$

Bước 2.2.2

Viết lại $\frac{d}{d t} [x]$ ở dạng $x'$ .

$3 x^{2} x' + \frac{d}{d t} [t^{3} x] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d t} [t^{3} x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ là $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ trong đó $f (t) = t^{3}$ và $g (t) = x$ .

$3 x^{2} x' + t^{3} \frac{d}{d t} [x] + x \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$

Bước 2.3.2

Viết lại $\frac{d}{d t} [x]$ ở dạng $x'$ .

$3 x^{2} x' + t^{3} x' + x \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$

Bước 2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 x^{2} x' + t^{3} x' + x (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$

Bước 2.3.4

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x$ .

$3 x^{2} x' + t^{3} x' + 3 x t^{2} + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 x^{2} x' + t^{3} x' + 3 x t^{2} + 2 t + \frac{d}{d t} [- 7]$

Bước 2.4.2

Vì $- 7$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $- 7$ đối với $t$ là $0$ .

$3 x^{2} x' + t^{3} x' + 3 x t^{2} + 2 t + 0$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Cộng $3 x^{2} x' + t^{3} x' + 3 x t^{2} + 2 t$ và $0$ .

$3 x^{2} x' + t^{3} x' + 3 x t^{2} + 2 t$

Bước 2.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$3 x^{2} x' + t^{3} x' + 3 t^{2} x + 2 t$

Bước 3

Vì $0$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $0$ đối với $t$ là $0$ .

$0$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$3 x^{2} x' + t^{3} x' + 3 t^{2} x + 2 t = 0$

Bước 5

Giải tìm $x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $x'$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Trừ $3 t^{2} x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 x^{2} x' + t^{3} x' + 2 t = - 3 t^{2} x$

Bước 5.1.2

Trừ $2 t$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 x^{2} x' + t^{3} x' = - 3 t^{2} x - 2 t$

Bước 5.2

Đưa $x'$ ra ngoài $3 x^{2} x' + t^{3} x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $x'$ ra ngoài $3 x^{2} x'$ .

$x' (3 x^{2}) + t^{3} x' = - 3 t^{2} x - 2 t$

Bước 5.2.2

Đưa $x'$ ra ngoài $t^{3} x'$ .

$x' (3 x^{2}) + x' (t^{3}) = - 3 t^{2} x - 2 t$

Bước 5.2.3

Đưa $x'$ ra ngoài $x' (3 x^{2}) + x' (t^{3})$ .

$x' (3 x^{2} + t^{3}) = - 3 t^{2} x - 2 t$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $x' (3 x^{2} + t^{3}) = - 3 t^{2} x - 2 t$ cho $3 x^{2} + t^{3}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $x' (3 x^{2} + t^{3}) = - 3 t^{2} x - 2 t$ cho $3 x^{2} + t^{3}$ .

$\frac{x' (3 x^{2} + t^{3})}{3 x^{2} + t^{3}} = \frac{- 3 t^{2} x}{3 x^{2} + t^{3}} + \frac{- 2 t}{3 x^{2} + t^{3}}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3 x^{2} + t^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x' (3 x^{2} + t^{3})}{3 x^{2} + t^{3}} = \frac{- 3 t^{2} x}{3 x^{2} + t^{3}} + \frac{- 2 t}{3 x^{2} + t^{3}}$

Bước 5.3.2.1.2

Chia $x'$ cho $1$ .

$x' = \frac{- 3 t^{2} x}{3 x^{2} + t^{3}} + \frac{- 2 t}{3 x^{2} + t^{3}}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x' = \frac{- 3 t^{2} x - 2 t}{3 x^{2} + t^{3}}$

Bước 5.3.3.2

Đưa $t$ ra ngoài $- 3 t^{2} x - 2 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1

Đưa $t$ ra ngoài $- 3 t^{2} x$ .

$x' = \frac{t (- 3 t x) - 2 t}{3 x^{2} + t^{3}}$

Bước 5.3.3.2.2

Đưa $t$ ra ngoài $- 2 t$ .

$x' = \frac{t (- 3 t x) + t \cdot - 2}{3 x^{2} + t^{3}}$

Bước 5.3.3.2.3

Đưa $t$ ra ngoài $t (- 3 t x) + t \cdot - 2$ .

$x' = \frac{t (- 3 t x - 2)}{3 x^{2} + t^{3}}$

Bước 5.3.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 3 t x$ .

$x' = \frac{t (- (3 t x) - 2)}{3 x^{2} + t^{3}}$

Bước 5.3.3.4

Viết lại $- 2$ ở dạng $- 1 (2)$ .

$x' = \frac{t (- (3 t x) - 1 (2))}{3 x^{2} + t^{3}}$

Bước 5.3.3.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (3 t x) - 1 (2)$ .

$x' = \frac{t (- (3 t x + 2))}{3 x^{2} + t^{3}}$

Bước 5.3.3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.6.1

Viết lại $- (3 t x + 2)$ ở dạng $- 1 (3 t x + 2)$ .

$x' = \frac{t (- 1 (3 t x + 2))}{3 x^{2} + t^{3}}$

Bước 5.3.3.6.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x' = - \frac{t (3 t x + 2)}{3 x^{2} + t^{3}}$

Bước 6

Thay thế $x'$ bằng $\frac{d x}{d t}$ .

$\frac{d x}{d t} = - \frac{t (3 t x + 2)}{3 x^{2} + t^{3}}$